docs: 확장 유클리드 알고리즘 설명 수정

Author: HyunJinNo

_posts/2024-03-06-modular-arithmetic.md

@@ -78,37 +78,41 @@ $3⁻¹\,mod\;11 = 3¹¹⁻²\,mod\;11=3⁹\,mod\;11=19683\,mod\;11=4$
 
 확장 유클리드 알고리즘(Extended Euclidean Algorithm)을 활용하여 모듈러 역원을 구할 수 있습니다.
 
-$a\times x+m\times y=gcd(a,m)$ 에서 <b>gcd가 1일 때(=a와 m이 서로소)</b>의 x 값이 a의 역원입니다.
+$a\times x+m\times y=gcd(a,m)$ 에서 <b>gcd가 1일 때(=a와 m이 서로소)의 x 값이 a의 역원</b>입니다.
 
 $3x+11y=1$
 
 $x=-7,\,y=2$
 
+$x=4,\,y=-1$
+
 $(-7)\,mod\;11=4\,mod\;11=4$
 
 ```javascript
-const modInverse = (a, m) => {
-  if (m === 1) {
-    return 0;
-  }
+const extendedGCD = (a, b) => {
+  if (b === 0) {
+    return { gcd: a, x: 1, y: 0 };
+  } else {
+    const { gcd, x: x1, y: y1 } = extendedGCD(b, a % b);
 
-  const m0 = m;
-  let x0 = 0;
-  let x1 = 1;
+    const x = y1;
+    const y = x1 - Math.floor(a / b) * y1;
 
-  while (a > 1) {
-    const q = Math.floor(a / m);
-    [a, m] = [m, a % m];
-    [x0, x1] = [x1 - q * x0, x0];
+    return { gcd, x, y };
   }
+};
 
-  if (x1 < 0) {
-    x1 += m0;
+const modInverse = (a, m) => {
+  const { gcd, x } = extendedGCD(a, m);
+
+  // 모듈러 역원이 존재하지 않는 경우 -1 리턴.
+  if (gcd !== 1) {
+    return -1;
   }
-  return x1;
-};
 
-console.log(modInverse(3, 11)); // 4
+  // 음수인 경우 양수로 조정.
+  return ((x % m) + m) % m;
+};
 ```
 
 ## Example
@@ -164,36 +168,32 @@ console.log(modInverse(3, 11)); // 4
   // 1 <= A < N
   const [N, A] = input.split(" ").map(Number);
 
-  const gcd = (a, b) => {
+  const extendedGCD = (a, b) => {
     if (b === 0) {
-      return a;
+      return { gcd: a, x: 1, y: 0 };
     } else {
-      return gcd(b, a % b);
+      const { gcd, x: x1, y: y1 } = extendedGCD(b, a % b);
+
+      const x = y1;
+      const y = x1 - Math.floor(a / b) * y1;
+
+      return { gcd, x, y };
     }
   };
 
   const modInverse = (a, m) => {
-    if (m === 1) {
-      return 0;
-    }
-
-    const m0 = m;
-    let x0 = 0;
-    let x1 = 1;
+    const { gcd, x } = extendedGCD(a, m);
 
-    while (a > 1) {
-      const q = Math.floor(a / m);
-      [a, m] = [m, a % m];
-      [x0, x1] = [x1 - q * x0, x0];
+    // 모듈러 역원이 존재하지 않는 경우 -1 리턴.
+    if (gcd !== 1) {
+      return -1;
     }
 
-    if (x1 < 0) {
-      x1 += m0;
-    }
-    return x1;
+    // 음수인 경우 양수로 조정.
+    return ((x % m) + m) % m;
   };
 
-  console.log(N - A, gcd(A, N) === 1 ? modInverse(A, N) : -1);
+  console.log(N - A, extendedGCD(A, N).gcd === 1 ? modInverse(A, N) : -1);
   ```
 
 ## 참고 자료