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Author: yunseo-kim

_posts/de/2025-03-28-euler-cauchy-equation.md

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 title: Euler-Cauchy-Gleichung
-description: Wir untersuchen, wie die allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung je nach Vorzeichen der Diskriminante der charakteristischen Gleichung verschiedene Formen annimmt.
+description: Wir untersuchen, wie die allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung je nach Vorzeichen der Diskriminante der Hilfsgleichung verschiedene Formen annimmt.
 categories: [Mathematics, Differential Equation]
 tags: [ODE, Second-Order ODEs, Linear ODEs]
 math: true
@@ -10,26 +10,26 @@ image: /assets/img/math-and-physics-cropped.png
 ## TL;DR
 > - Euler-Cauchy-Gleichung: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
 > - **Hilfsgleichung (auxiliary equation)**: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
-> - Je nach Vorzeichen der Diskriminante der Hilfsgleichung $(1-a)^2 - 4b$ kann die allgemeine Lösung in drei Fälle unterteilt werden, wie in der Tabelle dargestellt
+> - Je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der Hilfsgleichung kann die allgemeine Lösung in drei Fälle eingeteilt werden, wie in der Tabelle dargestellt
 >
-> | Fall | Lösungen der Hilfsgleichung | Basis der Lösungen der Euler-Cauchy-Gleichung | Allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung |
+> | Fall | Lösungen der Hilfsgleichung | Basis der Euler-Cauchy-Gleichung | Allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung |
 > | :---: | :---: | :---: | :---: |
 > | I | Verschiedene reelle Wurzeln<br>$m_1$, $m_2$ | $x^{m_1}$, $x^{m_2}$ | $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ |
-> | II | Reelle doppelte Wurzel<br> $m = \cfrac{1-a}{2}$ | $x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ | $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ |
+> | II | Reelle Doppelwurzel<br> $m = \cfrac{1-a}{2}$ | $x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ | $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ |
 > | III | Konjugiert komplexe Wurzeln<br> $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, <br> $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$ | $x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, <br> $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$ | $y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$ |
 {: .prompt-info }
 
 ## Voraussetzungen
-- [Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/)
-- [Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/)
+- [Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/)
+- [Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/)
 - Eulersche Formel
 
 ## Hilfsgleichung (auxiliary equation)
 Die **Euler-Cauchy-Gleichung** ist eine Differentialgleichung der Form
 
 $$ x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1} $$
 
-mit den Konstanten $a$ und $b$ und der unbekannten Funktion $y(x)$. Wenn wir in Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)
+mit gegebenen Konstanten $a$ und $b$ und der unbekannten Funktion $y(x)$. Wenn wir in Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)
 
 $$ y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2} $$
 
@@ -45,7 +45,7 @@ Daraus ergibt sich die Hilfsgleichung
 
 $$ m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2} $$
 
-und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $y=x^m$ eine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ist, besteht darin, dass $m$ eine Lösung der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) ist.
+und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $y=x^m$ eine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ist, ist, dass $m$ eine Lösung der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) ist.
 
 Die Lösungen der quadratischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sind
 
@@ -60,48 +60,48 @@ $$ y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}$$
 
 Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sind.
 
-Wie bei [homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/) können wir je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) drei Fälle unterscheiden:
+Wie bei [homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/) können wir je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) drei Fälle unterscheiden:
 - $(1-a)^2 - 4b > 0$: Zwei verschiedene reelle Wurzeln
 - $(1-a)^2 - 4b = 0$: Eine reelle Doppelwurzel
 - $(1-a)^2 - 4b < 0$: Konjugiert komplexe Wurzeln
 
-## Form der allgemeinen Lösung je nach Vorzeichen der Diskriminante der Hilfsgleichung
+## Allgemeine Lösungsformen je nach Vorzeichen der Diskriminante
 ### I. Zwei verschiedene reelle Wurzeln $m_1$ und $m_2$
 In diesem Fall bilden
 
 $$ y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2} $$
 
-eine Basis der Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) in jedem Intervall, und die allgemeine Lösung lautet
+eine Basis der Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) auf jedem Intervall, und die allgemeine Lösung lautet
 
 $$ y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}$$
 
 ### II. Reelle Doppelwurzel $m = \cfrac{1-a}{2}$
-Wenn $(1-a)^2 - 4b = 0$, also $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, hat die quadratische Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) nur eine Lösung $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, und daraus ergibt sich eine Lösung der Form $y = x^m$:
+Wenn $(1-a)^2 - 4b = 0$, also $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, hat die quadratische Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) nur eine Lösung $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, und die daraus resultierende Lösung der Form $y = x^m$ ist
 
 $$ y_1 = x^{(1-a)/2} $$
 
 Die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) nimmt dann die Form
 
 $$ y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5} $$
 
-an. Wir suchen nun eine zweite linear unabhängige Lösung $y_2$ mit Hilfe der [Methode der Ordnungsreduktion](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/#ordnungsreduktion).
+an. Wir suchen nun eine zweite linear unabhängige Lösung $y_2$ mit Hilfe der [Ordnungsreduktion](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/#ordnungsreduktion).
 
-Wir setzen $y_2=uy_1$ und erhalten
+Wir setzen die gesuchte zweite Lösung als $y_2=uy_1$ an und erhalten
 
 $$ u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right) $$
 
-Da $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, haben wir
+Da $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, gilt
 
 $$ U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x} $$
 
 und durch Integration erhalten wir $u = \ln x$.
 
-Somit ist $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, und $y_1$ und $y_2$ sind linear unabhängig, da ihr Quotient keine Konstante ist. Die allgemeine Lösung mit der Basis $y_1$ und $y_2$ lautet
+Somit ist $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, und $y_1$ und $y_2$ sind linear unabhängig, da ihr Quotient keine Konstante ist. Die allgemeine Lösung lautet
 
 $$ y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}$$
 
 ### III. Konjugiert komplexe Wurzeln
-In diesem Fall sind die Lösungen der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, und die entsprechenden komplexen Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) können mit Hilfe von $x=e^{\ln x}$ wie folgt geschrieben werden:
+In diesem Fall sind die Lösungen der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, und die entsprechenden komplexen Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) können mit $x=e^{\ln x}$ wie folgt geschrieben werden:
 
 $$ \begin{align*}
 x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\
@@ -116,7 +116,7 @@ Mit $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ und der Eulerschen Formel $e^{it} = \
 
 $$ \begin{align*}
 x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\
-x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]
+x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]
 \end{align*} \tag{8}$$
 
 Daraus ergeben sich die beiden reellen Lösungen
@@ -126,8 +126,21 @@ $$ \begin{align*}
 \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)
 \end{align*} \tag{9}$$
 
-Da ihr Quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ keine Konstante ist, sind diese beiden Lösungen linear unabhängig und bilden daher nach dem [Superpositionsprinzip](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/#superpositionsprinzip) eine Basis der Lösungen der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Daraus ergibt sich die allgemeine reelle Lösung:
+Da ihr Quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ keine Konstante ist, sind diese beiden Lösungen linear unabhängig und bilden somit nach dem [Superpositionsprinzip](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/#superpositionsprinzip) eine Basis der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Die allgemeine reelle Lösung lautet daher
 
 $$ y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}$$
 
-Allerdings ist der Fall, in dem die Hilfsgleichung der Euler-Cauchy-Gleichung konjugiert komplexe Wurzeln hat, von geringerer praktischer Bedeutung.
+Allerdings ist der Fall konjugiert komplexer Wurzeln bei der Euler-Cauchy-Gleichung von geringerer praktischer Bedeutung.
+
+## Transformation in eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
+Die Euler-Cauchy-Gleichung kann durch Variablensubstitution in eine [homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/) umgewandelt werden.
+
+Mit der Substitution $x = e^t$ erhalten wir
+
+$$ \frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right) $$
+
+und die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) wird zu einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten in $t$:
+
+$$ y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11} $$
+
+Wenn wir Gleichung ($\ref{eqn:substituted}$) mit den Methoden für [homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/) lösen und dann mit $t = \ln{x}$ zurück zu $x$ transformieren, erhalten wir die [gleichen Ergebnisse wie oben](#allgemeine-lösungsformen-je-nach-vorzeichen-der-diskriminante).