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Author: yunseo-kim

_posts/de/2024-10-12-ehrenfest-theorem.md

@@ -43,7 +43,7 @@ $$ \begin{align*}
 &= -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx. \label{eqn:dx/dt_3}\tag{4}
 \end{align*} $$
 
-> Im Übergang von Gleichung ($\ref{eqn:dx/dt_1}$) zu ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) und von ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) zu ($\ref{eqn:dx/dt_3}$) wurde zweimal die unbestimmte Integration angewendet, und da $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, wurden die Randterme vernachlässigt.
+> In den Schritten von Gleichung ($\ref{eqn:dx/dt_1}$) zu ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) und von ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) zu ($\ref{eqn:dx/dt_3}$) wurde zweimal partielle Integration angewendet, und da $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, wurden die Randterme vernachlässigt.
 {: .prompt-tip }
 
 Daraus ergibt sich der Erwartungswert des **Impulses** wie folgt:
@@ -60,7 +60,7 @@ $$ \begin{gather*}
 
 Der Operator $\hat x \equiv x$ repräsentiert die Position, und der Operator $\hat p \equiv -i\hbar(\partial/\partial x)$ repräsentiert den Impuls. Für den Impulsoperator $\hat p$ kann man in drei Dimensionen $\hat p \equiv -i\hbar\nabla$ definieren.
 
-Da alle klassischen mechanischen Variablen durch Position und Impuls ausgedrückt werden können, kann dies auf den Erwartungswert einer beliebigen physikalischen Größe erweitert werden. Um den Erwartungswert einer beliebigen Größe $Q(x,p)$ zu berechnen, ersetzt man alle $p$ durch $-i\hbar\nabla$ und integriert den so erhaltenen Operator zwischen $\Psi^*$ und $\Psi$.
+Da alle klassischen mechanischen Variablen durch Position und Impuls ausgedrückt werden können, kann dies auf den Erwartungswert einer beliebigen physikalischen Größe erweitert werden. Um den Erwartungswert einer beliebigen Größe $Q(x,p)$ zu berechnen, ersetzt man alle $p$ durch $-i\hbar\nabla$ und integriert den so erhaltenen Operator zwischen $\Psi^\*$ und $\Psi$.
 
 $$ \langle Q(x,p) \rangle = \int \Psi^*[Q(x, -i\hbar\nabla)]\Psi dx. \label{eqn:Q_exp}\tag{8}$$
 
@@ -86,7 +86,7 @@ $$ \begin{align*}
 &= -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle.
 \end{align*} $$
 
-> Gleichung ($\ref{eqn:dp/dt_2}$) erhält man durch Einsetzen der Gleichungen (6) und (7) aus [Schrödinger-Gleichung und Wellenfunktion](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/) in Gleichung ($\ref{eqn:dp/dt_1}$). Im Übergang von Gleichung ($\ref{eqn:dp/dt_3}$) zu ($\ref{eqn:dp/dt_4}$) wurde die unbestimmte Integration angewendet, und wie zuvor wurden die Randterme aufgrund von $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$ vernachlässigt.
+> Gleichung ($\ref{eqn:dp/dt_2}$) erhält man durch Einsetzen der Gleichungen (6) und (7) aus [Schrödinger-Gleichung und Wellenfunktion](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/) in Gleichung ($\ref{eqn:dp/dt_1}$). Im Schritt von Gleichung ($\ref{eqn:dp/dt_3}$) zu ($\ref{eqn:dp/dt_4}$) wurde partielle Integration angewendet, und wie zuvor wurden die Randterme aufgrund von $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$ vernachlässigt.
 {: .prompt-tip }
 
 $$ \therefore \frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle. \label{eqn:ehrenfest_theorem_2nd}\tag{17}$$
@@ -113,4 +113,4 @@ Wenn $x-\langle x \rangle$ klein genug ist, können wir alle Terme höherer Ordn
 
 $$ \frac{\partial V(x)}{\partial x} \approx \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} $$
 
-Das bedeutet, **wenn die Wellenfunktion eines Teilchens räumlich sehr eng um einen Punkt verteilt ist (d.h. wenn die Streuung von $\|\Psi\|^2$ in Bezug auf $x$ sehr klein ist), kann das Ehrenfest-Theorem durch Newtons zweites Bewegungsgesetz der klassischen Mechanik angenähert werden.** Auf makroskopischer Ebene können wir die räumliche Ausbreitung der Wellenfunktion vernachlässigen und die Position des Teilchens praktisch als einen Punkt betrachten, wodurch Newtons zweites Bewegungsgesetz gilt. Auf mikroskopischer Ebene können quantenmechanische Effekte jedoch nicht vernachlässigt werden, sodass Newtons zweites Bewegungsgesetz nicht mehr gilt und stattdessen das Ehrenfest-Theorem verwendet werden muss.
+Das bedeutet, **wenn die Wellenfunktion eines Teilchens räumlich sehr eng um einen Punkt verteilt ist (d.h. wenn die Streuung von $\|\Psi\|^2$ in Bezug auf $x$ sehr klein ist), kann das Ehrenfest-Theorem durch Newtons zweites Bewegungsgesetz der klassischen Mechanik angenähert werden.** Auf makroskopischer Ebene können wir die räumliche Ausbreitung der Wellenfunktion vernachlässigen und die Position des Teilchens praktisch als einen Punkt betrachten, sodass Newtons zweites Bewegungsgesetz gilt. Auf mikroskopischer Ebene können quantenmechanische Effekte jedoch nicht vernachlässigt werden, sodass Newtons zweites Bewegungsgesetz nicht mehr gilt und stattdessen das Ehrenfest-Theorem verwendet werden muss.

_posts/en/2024-10-12-ehrenfest-theorem.md

@@ -43,7 +43,7 @@ $$ \begin{align*}
 &= -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx. \label{eqn:dx/dt_3}\tag{4}
 \end{align*} $$
 
-> In the process from equation ($\ref{eqn:dx/dt_1}$) to ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) and from ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) to ($\ref{eqn:dx/dt_3}$), indefinite integration was applied twice, and since $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, the boundary terms were discarded.
+> In the process from equation ($\ref{eqn:dx/dt_1}$) to ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) and from ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) to ($\ref{eqn:dx/dt_3}$), integration by parts was applied twice, and since $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, the boundary terms were discarded.
 {: .prompt-tip }
 
 Therefore, we obtain the expectation value of **momentum** as follows:
@@ -86,7 +86,7 @@ $$ \begin{align*}
 &= -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle.
 \end{align*} $$
 
-> Equation ($\ref{eqn:dp/dt_2}$) can be obtained by substituting equations (6) and (7) from [Schrödinger equation and wave function](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/) into equation ($\ref{eqn:dp/dt_1}$). In the process from equation ($\ref{eqn:dp/dt_3}$) to ($\ref{eqn:dp/dt_4}$), indefinite integration was applied, and as before, since $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, the boundary terms were discarded.
+> Equation ($\ref{eqn:dp/dt_2}$) can be obtained by substituting equations (6) and (7) from [Schrödinger equation and wave function](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/) into equation ($\ref{eqn:dp/dt_1}$). In the process from equation ($\ref{eqn:dp/dt_3}$) to ($\ref{eqn:dp/dt_4}$), integration by parts was applied, and as before, since $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, the boundary terms were discarded.
 {: .prompt-tip }
 
 $$ \therefore \frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle. \label{eqn:ehrenfest_theorem_2nd}\tag{17}$$
@@ -113,4 +113,4 @@ If $x-\langle x \rangle$ is sufficiently small, we can ignore all higher-order t
 
 $$ \frac{\partial V(x)}{\partial x} \approx \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} $$
 
-In other words, **if a particle's wave function is spatially distributed very close to a single point (if the dispersion of $\|\Psi\|^2$ with respect to $x$ is very small), the Ehrenfest theorem can be approximated to Newton's Second Law of Motion in classical mechanics.** On a macroscopic scale, we can ignore the spatial spread of the wave function and essentially consider the particle's position as a single point, so Newton's Second Law of Motion holds. However, on a microscopic scale, quantum mechanical effects cannot be ignored, so Newton's Second Law of Motion no longer holds, and the Ehrenfest theorem must be used.
+In other words, **if a particle's wave function is spatially distributed very close to a single point (if the dispersion of $\|\Psi\|^2$ with respect to $x$ is very small), the Ehrenfest theorem can be approximated to Newton's Second Law of Motion in classical mechanics.** On a macroscopic scale, we can essentially regard the particle's position as a single point, ignoring the spatial spread of the wave function, so Newton's Second Law of Motion holds. However, on a microscopic scale, quantum mechanical effects cannot be ignored, so Newton's Second Law of Motion no longer holds, and the Ehrenfest theorem must be used.

_posts/es/2024-10-12-ehrenfest-theorem.md

@@ -60,7 +60,7 @@ $$ \begin{gather*}
 
 El operador $\hat x \equiv x$ representa la posición, y el operador $\hat p \equiv -i\hbar(\partial/\partial x)$ representa el momento. En el caso del operador de momento $\hat p$, al extenderlo al espacio tridimensional, se puede definir como $\hat p \equiv -i\hbar\nabla$.
 
-Como todas las variables de la mecánica clásica se pueden expresar en términos de posición y momento, esto se puede extender al valor esperado de cualquier cantidad física. Para calcular el valor esperado de una cantidad arbitraria $Q(x,p)$, reemplazamos todas las $p$ por $-i\hbar\nabla$ y luego integramos el operador resultante entre $\Psi^*$ y $\Psi$.
+Como todas las variables de la mecánica clásica se pueden expresar en términos de posición y momento, esto se puede extender al valor esperado de cualquier cantidad física. Para calcular el valor esperado de una cantidad arbitraria $Q(x,p)$, se reemplaza toda $p$ por $-i\hbar\nabla$, y se integra el operador resultante entre $\Psi^*$ y $\Psi$.
 
 $$ \langle Q(x,p) \rangle = \int \Psi^*[Q(x, -i\hbar\nabla)]\Psi dx. \label{eqn:Q_exp}\tag{8}$$
 
@@ -109,7 +109,7 @@ Si expandimos en serie de Taylor el lado derecho de la segunda ecuación del teo
 
 $$ \frac{\partial V(x)}{\partial x} = \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} + \frac{\partial^2 V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle^2}(x-\langle x \rangle) + \frac{\partial^3 V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle^3}(x-\langle x \rangle)^2 + \cdots $$
 
-Si $x-\langle x \rangle$ es suficientemente pequeño, podemos ignorar todos los términos de orden superior excepto el primero y aproximar:
+Si $x-\langle x \rangle$ es lo suficientemente pequeño, podemos ignorar todos los términos de orden superior excepto el primero y aproximar:
 
 $$ \frac{\partial V(x)}{\partial x} \approx \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} $$
 

_posts/fr/2024-10-12-ehrenfest-theorem.md

@@ -28,11 +28,11 @@ $$ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x|\Psi(x,t)|^2 dx \label{eqn:x_exp
 
 Si on mesure la position d'un grand nombre de particules dans le même état $\Psi$ et qu'on fait la moyenne des résultats, on obtient $\langle x \rangle$ calculé par l'équation ci-dessus.
 
-> Notez que la valeur attendue dont on parle ici n'est pas la moyenne obtenue en mesurant répétitivement une seule particule, mais plutôt la moyenne des résultats de mesure pour un **ensemble** de systèmes dans le même état. Si on mesure la même particule plusieurs fois à de courts intervalles, la fonction d'onde [s'effondre (collapse)](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/#mesure-et-effondrement-de-la-fonction-donde) lors de la première mesure, donc les mesures suivantes donneront toujours la même valeur.
+> Notez que la valeur attendue dont on parle ici n'est pas la moyenne obtenue en mesurant répétitivement une seule particule, mais la moyenne des résultats de mesure pour un **ensemble** de systèmes dans le même état. Si on mesure la même particule plusieurs fois à de courts intervalles, la fonction d'onde [s'effondre (collapse)](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/#mesure-et-effondrement-de-la-fonction-donde) lors de la première mesure, donc on obtiendrait continuellement la même valeur dans les mesures suivantes.
 {: .prompt-warning }
 
 ### Valeur attendue de l'impulsion $p$
-Comme $\Psi$ dépend du temps, $\langle x \rangle$ changera avec le temps. Selon l'équation (8) de [Équation de Schrödinger et fonction d'onde](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/) et l'équation ($\ref{eqn:x_exp}$) ci-dessus, nous avons :
+Comme $\Psi$ dépend du temps, $\langle x \rangle$ changera avec le temps. Selon l'équation (8) de [Équation de Schrödinger et fonction d'onde](/posts/schrodinger-equation-and-the-wave-function/) et l'équation ($\ref{eqn:x_exp}$) ci-dessus, on a :
 
 $$ \begin{align*}
 \frac{d\langle x \rangle}{dt} &= \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 dx \\
@@ -46,7 +46,7 @@ $$ \begin{align*}
 > Dans le processus de ($\ref{eqn:dx/dt_1}$) à ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) et de ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) à ($\ref{eqn:dx/dt_3}$), l'intégration par parties a été appliquée deux fois, et comme $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, les termes de bord (boundary terms) ont été éliminés.
 {: .prompt-tip }
 
-Ainsi, nous obtenons la valeur attendue de l'**impulsion** comme suit :
+Ainsi, on obtient la valeur attendue de l'**impulsion** comme suit :
 
 $$ \langle p \rangle = m\frac{d\langle x \rangle}{dt} = -i\hbar\int\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)dx. \label{eqn:p_exp}\tag{5} $$
 
@@ -60,19 +60,19 @@ $$ \begin{gather*}
 
 L'opérateur $\hat x \equiv x$ représente la position, et l'opérateur $\hat p \equiv -i\hbar(\partial/\partial x)$ représente l'impulsion. Pour l'opérateur d'impulsion $\hat p$, on peut le définir comme $\hat p \equiv -i\hbar\nabla$ lorsqu'on l'étend à l'espace tridimensionnel.
 
-Comme toutes les variables de la mécanique classique peuvent être exprimées en termes de position et d'impulsion, nous pouvons étendre cela à la valeur attendue de toute quantité physique. Pour calculer la valeur attendue d'une quantité arbitraire $Q(x,p)$, il faut remplacer tous les $p$ par $-i\hbar\nabla$, puis insérer l'opérateur ainsi obtenu entre $\Psi^*$ et $\Psi$ et intégrer.
+Comme toutes les variables de la mécanique classique peuvent être exprimées en termes de position et d'impulsion, on peut étendre cela à la valeur attendue d'une quantité physique arbitraire. Pour calculer la valeur attendue d'une quantité arbitraire $Q(x,p)$, il faut remplacer tous les $p$ par $-i\hbar\nabla$, puis insérer l'opérateur ainsi obtenu entre $\Psi^*$ et $\Psi$ et intégrer.
 
 $$ \langle Q(x,p) \rangle = \int \Psi^*[Q(x, -i\hbar\nabla)]\Psi dx. \label{eqn:Q_exp}\tag{8}$$
 
-Par exemple, comme l'énergie cinétique est $T=\cfrac{p^2}{2m}$, nous avons
+Par exemple, comme l'énergie cinétique est $T=\cfrac{p^2}{2m}$, on a
 
 $$ \langle T \rangle = \frac{\langle p^2 \rangle}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}dx \label{eqn:T_exp}\tag{9}$$
 
-L'équation ($\ref{eqn:Q_exp}$) nous permet de calculer la valeur attendue de toute quantité physique pour une particule dans l'état $\Psi$.
+L'équation ($\ref{eqn:Q_exp}$) permet de calculer la valeur attendue de toute quantité physique pour une particule dans l'état $\Psi$.
 
 ## Théorème d'Ehrenfest
 ### Calcul de $d\langle p \rangle/dt$
-Différencions les deux côtés de l'équation ($\ref{eqn:p_op}$) par rapport au temps $t$ pour obtenir la dérivée temporelle de la valeur attendue de l'impulsion $\cfrac{d\langle p \rangle}{dt}$.
+Dérivons les deux côtés de l'équation ($\ref{eqn:p_op}$) par rapport au temps $t$ pour obtenir la dérivée temporelle de la valeur attendue de l'impulsion $\cfrac{d\langle p \rangle}{dt}$.
 
 $$ \begin{align*}
 \frac{d\langle p \rangle}{dt} &= -i\hbar\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*\frac{\partial}{\partial x}\Psi dx \tag{10}\\
@@ -105,12 +105,12 @@ Comparons les deux équations côte à côte :
 - $$ \frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x} \right\rangle \text{ [Théorème d'Ehrenfest]} $$
 - $$ \frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} \text{ [Deuxième loi du mouvement de Newton]}$$
 
-Si nous développons en série de Taylor le côté droit de la deuxième équation du théorème d'Ehrenfest $\cfrac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \cfrac{\partial V(x)}{\partial x} \right\rangle$ (équation [$\ref{eqn:ehrenfest_theorem_2nd}$]) autour de $\langle x \rangle$, nous obtenons :
+Si on développe en série de Taylor le terme de droite de la deuxième équation du théorème d'Ehrenfest $\cfrac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \cfrac{\partial V(x)}{\partial x} \right\rangle$ (équation [$\ref{eqn:ehrenfest_theorem_2nd}$]) autour de $\langle x \rangle$, on obtient :
 
 $$ \frac{\partial V(x)}{\partial x} = \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} + \frac{\partial^2 V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle^2}(x-\langle x \rangle) + \frac{\partial^3 V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle^3}(x-\langle x \rangle)^2 + \cdots $$
 
-Si $x-\langle x \rangle$ est suffisamment petit, nous pouvons négliger tous les termes d'ordre supérieur sauf le premier terme et approximer :
+Si $x-\langle x \rangle$ est suffisamment petit, on peut négliger tous les termes d'ordre supérieur sauf le premier terme et approximer :
 
 $$ \frac{\partial V(x)}{\partial x} \approx \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} $$
 
-En d'autres termes, **si la fonction d'onde d'une particule a une distribution spatiale très étroite et pointue (si la dispersion de $\|\Psi\|^2$ par rapport à $x$ est très petite), alors le théorème d'Ehrenfest peut être approximé par la deuxième loi du mouvement de Newton de la mécanique classique.** À l'échelle macroscopique, on peut négliger l'étendue spatiale de la fonction d'onde et considérer la position de la particule comme essentiellement un point, donc la deuxième loi du mouvement de Newton s'applique. Cependant, à l'échelle microscopique, les effets quantiques ne peuvent pas être négligés, donc la deuxième loi du mouvement de Newton ne s'applique plus et nous devons utiliser le théorème d'Ehrenfest.
+En d'autres termes, **si la fonction d'onde d'une particule a une distribution spatiale très étroite et pointue (si la dispersion de $\|\Psi\|^2$ par rapport à $x$ est très petite), le théorème d'Ehrenfest peut être approximé par la deuxième loi du mouvement de Newton de la mécanique classique.** À l'échelle macroscopique, on peut ignorer l'étendue spatiale de la fonction d'onde et considérer la position de la particule comme essentiellement un point, donc la deuxième loi du mouvement de Newton s'applique. Cependant, à l'échelle microscopique, les effets quantiques ne peuvent pas être ignorés, donc la deuxième loi du mouvement de Newton ne s'applique plus et il faut utiliser le théorème d'Ehrenfest.