Fix the typos in gravitational-field-and-potential.md

Author: yunseo-kim

_posts/es/2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md

@@ -207,7 +207,7 @@ Los potenciales gravitacionales $\Phi$ en las tres regiones calculadas anteriorm
 > - Código de visualización en Python: [repositorio yunseo-kim/physics-visualizations](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations/blob/main/src/shell_theorem.py)
 > - Licencia: [Ver aquí](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations?tab=readme-ov-file#license)
 
-Se puede ver que tanto el potencial gravitacional como la magnitud del vector de campo gravitacional son continuos. Si el potencial gravitacional fuera discontinuo en algún punto, el gradiente del potencial en ese punto, es decir, la magnitud de la gravedad, se volvería infinita en ese punto, lo cual no es físicamente válido, por lo que la función potencial debe ser continua en todos los puntos. Sin embargo, la *derivada* del vector de campo gravitacional es discontinua en las superficies interna y externa de la cáscara.
+Se puede ver que tanto el potencial gravitacional como la magnitud del vector de campo gravitacional son continuos. Si el potencial gravitacional fuera discontinuo en algún punto, el gradiente del potencial en ese punto, es decir, la magnitud de la gravedad, se volvería infinita, lo cual no es físicamente válido, por lo que la función potencial debe ser continua en todos los puntos. Sin embargo, la *derivada* del vector de campo gravitacional es discontinua en las superficies interna y externa de la cáscara.
 
 ## Ejemplo: Curvas de rotación galáctica
 Según observaciones astronómicas, en muchas galaxias espirales que rotan alrededor de su centro, como la Vía Láctea o la galaxia de Andrómeda, la mayoría de las masas observables se concentran cerca del centro. Sin embargo, las velocidades orbitales de las masas en estas galaxias espirales difieren significativamente de los valores predichos teóricamente a partir de la distribución de masa observable, como se puede confirmar en el siguiente gráfico, y son casi constantes más allá de cierta distancia.

_posts/fr/2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md

@@ -207,7 +207,7 @@ Les graphiques suivants représentent le potentiel gravitationnel $\Phi$ dans le
 > - Code de visualisation Python : [dépôt yunseo-kim/physics-visualizations](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations/blob/main/src/shell_theorem.py)
 > - Licence : [Voir ici](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations?tab=readme-ov-file#license)
 
-On peut voir que le potentiel gravitationnel et la magnitude du vecteur champ gravitationnel sont continus. Si le potentiel gravitationnel était discontinu en un point, le gradient du potentiel en ce point, c'est-à-dire la magnitude de la gravité, deviendrait infini en ce point, ce qui n'est pas physiquement valable, donc la fonction potentielle doit être continue en tous points. Cependant, la *dérivée* du vecteur champ gravitationnel est discontinue aux surfaces intérieure et extérieure de la coquille.
+On peut voir que le potentiel gravitationnel et la magnitude du vecteur champ gravitationnel sont continus. Si le potentiel gravitationnel était discontinu en un point, le gradient du potentiel en ce point, c'est-à-dire la magnitude de la gravité, deviendrait infini, ce qui n'est pas physiquement valable, donc la fonction potentielle doit être continue en tous points. Cependant, la *dérivée* du vecteur champ gravitationnel est discontinue aux surfaces intérieure et extérieure de la coquille.
 
 ## Exemple : Courbes de rotation galactique
 Selon les observations astronomiques, dans de nombreuses galaxies spirales en rotation autour de leur centre, comme notre Voie lactée ou la galaxie d'Andromède, la plupart des masses observables sont concentrées près du centre. Cependant, les vitesses orbitales des masses dans ces galaxies spirales, comme on peut le voir dans le graphique suivant, ne correspondent pas aux valeurs théoriquement prédites à partir de la distribution de masse observable et restent presque constantes au-delà d'une certaine distance.

_posts/ja/2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md

@@ -207,7 +207,7 @@ $$\begin{align*}
 > - Python可視化コード: [yunseo-kim/physics-visualizations リポジトリ](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations/blob/main/src/shell_theorem.py)
 > - ライセンス: [See here](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations?tab=readme-ov-file#license)
 
-重力ポテンシャルと重力場ベクトルの大きさは連続的であることがわかる。もし重力ポテンシャルがある点で不連続なら、その点でポテンシャルの勾配、つまり重力の大きさがその点で無限大になるが、これは物理的に妥当でないのでポテンシャル関数はすべての点で連続でなければならない。しかし重力場ベクトルの*微分係数*は殻の内側面と外側面で不連続である。
+重力ポテンシャルと重力場ベクトルの大きさは連続的であることがわかる。もし重力ポテンシャルがある点で不連続なら、その点でポテンシャルの勾配、つまり重力の大きさが無限大になるが、これは物理的に妥当でないのでポテンシャル関数はすべての点で連続でなければならない。しかし重力場ベクトルの*微分係数*は殻の内側面と外側面で不連続である。
 
 ## 例題: 銀河回転曲線
 天文学的観測によれば、我々の銀河やアンドロメダ銀河のように中心に対して回転する多くの渦巻銀河の中の観測可能な質量は大部分が中心部近くに集中的に分布している。しかしこのような渦巻銀河の中の質量の軌道速度は、次のグラフで確認できるように観測可能な質量分布から理論的に予測した値と大きく一致せず、一定距離以上ではほぼ一定である。

_posts/ko/2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md

@@ -207,7 +207,7 @@ $$\begin{align*}
 > - Python 시각화 코드: [yunseo-kim/physics-visualizations 리포지터리](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations/blob/main/src/shell_theorem.py)
 > - 라이선스: [See here](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations?tab=readme-ov-file#license)
 
-중력 퍼텐셜과 중력장 벡터의 크기는 연속적임을 알 수 있다. 만약 중력 퍼텐셜이 어떤 점에서 불연속이면 그 점에서 퍼텐셜의 기울기, 즉 중력의 크기가 그 점에서 무한대가 되는데, 이는 물리적으로 타당하지 않으므로 퍼텐셜 함수는 모든 점에서 연속이어야 한다. 그러나 중력장 벡터의 *미분계수*는 껍질의 안쪽 면과 바깥쪽 면에서 불연속이다.
+중력 퍼텐셜과 중력장 벡터의 크기는 연속적임을 알 수 있다. 만약 중력 퍼텐셜이 어떤 점에서 불연속이면 그 점에서 퍼텐셜의 기울기, 즉 중력의 크기가 무한대가 되는데, 이는 물리적으로 타당하지 않으므로 퍼텐셜 함수는 모든 점에서 연속이어야 한다. 그러나 중력장 벡터의 *미분계수*는 껍질의 안쪽 면과 바깥쪽 면에서 불연속이다.
 
 ## 예제: 은하 회전 곡선
 천문학적 관측에 따르면, 우리은하나 안드로메다 은하와 같이 중심에 대해 회전하는 많은 나선형 은하 속 관측 가능한 질량들은 대부분이 중심부 근처에 집중적으로 분포한다. 그러나 이러한 나선형 은하 속 질량들의 궤도 속력은, 다음 그래프에서 확인할 수 있듯 관측 가능한 질량 분포로부터 이론적으로 예측한 값과 크게 불일치하며 일정 거리 이상에서는 거의 일정하다.

_posts/pt-BR/2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md

@@ -207,7 +207,7 @@ O potencial gravitacional $\Phi$ nas três regiões calculadas anteriormente e a
 > - Código de visualização Python: [repositório yunseo-kim/physics-visualizations](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations/blob/main/src/shell_theorem.py)
 > - Licença: [Ver aqui](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations?tab=readme-ov-file#license)
 
-Pode-se ver que o potencial gravitacional e a magnitude do vetor campo gravitacional são contínuos. Se o potencial gravitacional fosse descontínuo em algum ponto, o gradiente do potencial nesse ponto, ou seja, a magnitude da gravidade, se tornaria infinita nesse ponto, o que não é fisicamente válido, então a função potencial deve ser contínua em todos os pontos. No entanto, a *derivada* do vetor campo gravitacional é descontínua nas superfícies interna e externa da casca.
+Pode-se ver que o potencial gravitacional e a magnitude do vetor campo gravitacional são contínuos. Se o potencial gravitacional fosse descontínuo em algum ponto, o gradiente do potencial nesse ponto, ou seja, a magnitude da gravidade, se tornaria infinita, o que não é fisicamente válido, então a função potencial deve ser contínua em todos os pontos. No entanto, a *derivada* do vetor campo gravitacional é descontínua nas superfícies interna e externa da casca.
 
 ## Exemplo: Curvas de rotação galácticas
 Segundo observações astronômicas, em muitas galáxias espirais que rotam em torno do centro, como a Via Láctea ou a galáxia de Andrômeda, a maioria das massas observáveis está concentrada próximo ao centro. No entanto, as velocidades orbitais das massas nessas galáxias espirais diferem significativamente dos valores teoricamente previstos a partir da distribuição de massa observável, como pode ser confirmado no gráfico a seguir, e são quase constantes além de uma certa distância.

_posts/zh-TW/2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md

@@ -207,7 +207,7 @@ $$\begin{align*}
 > - Python 視覺化程式碼：[yunseo-kim/physics-visualizations 儲存庫](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations/blob/main/src/shell_theorem.py)
 > - 授權：[見此處](https://github.com/yunseo-kim/physics-visualizations?tab=readme-ov-file#license)
 
-可以看出重力位勢和重力場向量的大小是連續的。如果重力位勢在某點不連續，那麼該點的位勢梯度，即重力的大小在該點會變成無限大，這在物理上是不合理的，所以位勢函數在所有點都必須連續。但是重力場向量的*微分係數*在殼層的內表面和外表面處不連續。
+可以看出重力位勢和重力場向量的大小是連續的。如果重力位勢在某點不連續，那麼該點的位勢梯度，即重力的大小會變成無限大，這在物理上是不合理的，所以位勢函數在所有點都必須連續。但是重力場向量的*微分係數*在殼層的內表面和外表面處不連續。
 
 ## 例題：星系旋轉曲線
 根據天文觀測，在我們銀河系或仙女座星系等圍繞中心旋轉的許多螺旋星系中，可觀測質量大多集中分布在中心部附近。然而，這些螺旋星系中質量的軌道速度如下圖所示，與從可觀測質量分布理論預測的值有很大差異，在一定距離以上幾乎保持恆定。

tools/hash.csv

@@ -52,7 +52,7 @@
 2025-04-06-wronskian-existence-and-uniqueness-of-solutions.md,1099aef7187bd8c20c3cf9c21351507cfc8a3c7bea136420944767d2879f4335
 2025-04-16-nonhomogeneous-linear-odes-of-second-order.md,0385664b91dd3cb6cb1c95735d4b879d742fe236c5927f61413eea6059709c1b
 2025-04-20-method-of-undetermined-coefficients.md,bf727cf3837d1658952b58a44a318468a3cbc45676d0f0068e8968f0cbc772d2
-2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md,3ff523566ecdd89ff8007df916df662a8d0b11e5961900b21fe3ce0b59a7821e
+2025-05-17-gravitational-field-and-potential.md,93999630fab5d744ad285bad7697785ad7a0977e7e16c831a46ca30e78a33ad6
 2025-08-05-about-web-vitals.md,fc41a5d8797a96e937e34feaa5ffcaeccda6b13062ac93515453f0b126b5fd64
 2025-09-07-vectors-and-linear-combinations.md,58a5967596311437e1ee470d2e5ec0dd59dd51afca6ba14b16fe9b4031fb0f31
 2025-09-10-inner-product-and-norm.md,e6a3abb24ab6f738e7817dd57251f2d821ab8ad78c8b77146597677cc43ea786