Update Neutron-Attenuation-and-Mean-Free-Path.md

Author: yunseo-kim

_posts/de/2022-03-20-Neutron-Attenuation-and-Mean-Free-Path.md

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 title: Neutronenabschwächung (Neutron Attenuation) und mittlere freie Weglänge (Mean Free Path)
-description: Berechnung der Intensität eines monoenergetischen Neutronenstrahls in Abhängigkeit von der Durchdringungstiefe im Zielmaterial und Ableitung der mittleren freien Weglänge der Neutronen.
+description: Berechnung der Intensität eines Neutronenstrahls in Abhängigkeit von der Durchdringungstiefe im Zielmaterial und Ableitung der mittleren freien Weglänge von Neutronen. Zusätzlich werden makroskopische Wirkungsquerschnitte für homogene Mischungen und Moleküle berechnet.
 categories: [Nuclear Engineering, Basis]
 tags: [Nuclear Physics, Interaction of Radiation with Matter]
 math: true
 image: /assets/img/atoms.webp
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+
 ## Neutronenabschwächung (Neutron Attenuation)
-Ein monoenergetischer Neutronenstrahl mit der Intensität $I_0$ wird auf ein Zielmaterial der Dicke $X$ gerichtet, und in einiger Entfernung hinter dem Zielmaterial befindet sich ein Neutronendetektor. Nehmen wir an, dass sowohl das Zielmaterial als auch der Detektor sehr klein sind und der Detektor nur einen kleinen Raumwinkel abdeckt, sodass er nur einen Teil der durch das Zielmaterial austretenden Neutronen erfassen kann. Alle Neutronen, die mit dem Zielmaterial kollidieren, werden entweder absorbiert oder in andere Richtungen gestreut, sodass nur die Neutronen, die nicht mit dem Zielmaterial reagieren, den Detektor erreichen.
+Ein monoenergetischer Neutronenstrahl mit der Intensität $I_0$ wird auf ein Zielmaterial der Dicke $X$ gerichtet, und in einiger Entfernung hinter dem Ziel befindet sich ein Neutronendetektor. Wir nehmen an, dass sowohl das Ziel als auch der Detektor sehr klein sind und der Detektor nur einen kleinen Raumwinkel abdeckt, sodass er nur einen Teil der durch das Ziel austretenden Neutronen erfassen kann. Unter diesen Bedingungen werden alle Neutronen, die mit dem Zielmaterial kollidieren, entweder absorbiert oder in andere Richtungen gestreut, sodass nur die Neutronen, die keine Wechselwirkung mit dem Zielmaterial eingehen, den Detektor erreichen.
 
-Bezeichnen wir mit $I(x)$ die Intensität des Neutronenstrahls, der nach einer Strecke $x$ im Zielmaterial ohne Kollision verbleibt. Wenn der Neutronenstrahl durch eine sehr dünne Schicht des Zielmaterials mit der Dicke $\tau$ hindurchtritt, ist die Anzahl der Kollisionen pro Flächeneinheit $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[Neutronen/cm}^2\cdot\text{s]}$ (siehe Gleichung (1) und (4) in [Neutronenwechselwirkungen und Wirkungsquerschnitte](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#wirkungsquerschnitt-cross-section-oder-mikroskopischer-wirkungsquerschnitt-microscopic-cross-section)). Daher ist die Abnahme der Neutronenstrahlintensität beim Durchgang durch die Strecke $dx$ im Zielmaterial:
+Sei $I(x)$ die Intensität des Neutronenstrahls, der die Strecke $x$ im Zielmaterial ohne Kollision zurückgelegt hat. Wenn der Neutronenstrahl eine dünne Schicht der Dicke $\tau$ durchdringt, ist die Anzahl der Kollisionen pro Flächeneinheit $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[Neutronen/cm}^2\cdot\text{s]}$ (siehe Gleichung [(1)](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#mjx-eqn%3Aeqn%3Amicroscopic_cross_section) und [(8)](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#mjx-eqn%3Aeqn%3Areaction_rate) im Artikel [Neutronenwechselwirkungen und Wirkungsquerschnitte](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/)). Daher ist die Abnahme der Neutronenstrahlintensität beim Durchgang durch eine Schicht der Dicke $dx$ wie folgt:
 
 $$ -dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1} $$
 
@@ -22,11 +23,11 @@ $$ I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2} $$
 Daraus folgt, dass die Intensität des Neutronenstrahls mit zunehmender Durchdringungstiefe im Zielmaterial exponentiell abnimmt.
 
 ## Mittlere freie Weglänge (Mean Free Path)
-- Die durchschnittliche Strecke, die ein Neutron nach einer Kollision mit einem Kern zurücklegt, bevor es mit einem weiteren Kern kollidiert
+- Die durchschnittliche Strecke, die ein Neutron zwischen aufeinanderfolgenden Kollisionen mit Atomkernen zurücklegt
 - Das heißt, die durchschnittliche Strecke, die ein Neutron ohne Kollision zurücklegt
 - Wird mit dem Symbol $\lambda$ bezeichnet
 
-$I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Neutron die Strecke $x$ im Medium ohne Kollision mit einem Kern zurücklegt. Die Wahrscheinlichkeit $p(x)dx$, dass ein Neutron die Strecke $x$ ohne Kollision zurücklegt und dann innerhalb der Strecke $dx$ kollidiert, ist daher:
+Der Ausdruck $I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Neutron die Strecke $x$ im Medium ohne Kollision zurücklegt. Die Wahrscheinlichkeit $p(x)dx$, dass ein Neutron die Strecke $x$ ohne Kollision zurücklegt und dann innerhalb der Strecke $dx$ eine Kollision erfährt, ist daher:
 
 $$ \begin{align*}
 p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx
@@ -42,6 +43,24 @@ $$ \begin{align*}
 \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx
 \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right)
 \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty
-\\ &= 1/\Sigma_t \tag{3}
+\\ &= 1/\Sigma_t \label{eqn:mean_free_pass}\tag{3}
 \end{align*}
 $$
+
+## Makroskopischer Wirkungsquerschnitt einer homogenen Mischung (Homogeneous Mixture)
+Betrachten wir eine homogene Mischung aus zwei Nukliden $X$ und $Y$ mit den Atomdichten $N_X$ bzw. $N_Y$ $\text{Atom/cm}^3$ und den Wirkungsquerschnitten $\sigma_X$ bzw. $\sigma_Y$ für eine bestimmte Neutronenreaktion.
+
+Die Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit, dass ein Neutron mit den Nukliden $X$ bzw. $Y$ kollidiert, beträgt $\Sigma_X=N_X\sigma_X$ bzw. $\Sigma_Y=N_Y\sigma_Y$ (siehe [Makroskopischer Wirkungsquerschnitt](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#makroskopischer-wirkungsquerschnitt-macroscopic-cross-section)). Die Gesamtwahrscheinlichkeit pro Längeneinheit, dass ein Neutron mit einem der beiden Nuklide reagiert, ist daher:
+
+$$ \Sigma = \Sigma_X + \Sigma_Y = N_X\sigma_X + N_Y\sigma_Y \label{eqn:cross_section_of_mixture}\tag{4}$$
+
+## Äquivalenter Wirkungsquerschnitt (Equivalent Cross-section) eines Moleküls
+Wenn die oben betrachteten Nuklide in Form von Molekülen vorliegen, können wir den äquivalenten Wirkungsquerschnitt (equivalent cross-section) des Moleküls definieren, indem wir den makroskopischen Wirkungsquerschnitt der Mischung aus Gleichung ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) durch die Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit teilen.
+
+Wenn $N$ Moleküle $X_mY_n$ pro Volumeneinheit vorhanden sind, dann gilt $N_X=mN$ und $N_Y=nN$. Aus Gleichung ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) erhalten wir den Wirkungsquerschnitt dieses Moleküls:
+
+$$ \sigma = \frac{\Sigma}{N}=m\sigma_X + n\sigma_Y \label{eqn:equivalent_cross_section}\tag{5} $$
+
+> Die Gleichungen ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) und ($\ref{eqn:equivalent_cross_section}$) gelten unter der Annahme, dass die Nuklide $X$ und $Y$ unabhängig voneinander mit Neutronen wechselwirken, und sind für alle Arten von Neutronenreaktionen außer [elastischer Streuung](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#elastische-streuung-elastic-scattering) gültig.
+> Für die elastische Streuung von Neutronen an Molekülen und Festkörpern (besonders im niedrigen Energiebereich) ist diese Annahme nicht anwendbar, und die Streuquerschnitte müssen experimentell bestimmt werden.
+{: .prompt-warning }

_posts/en/2022-03-20-Neutron-Attenuation-and-Mean-Free-Path.md

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 title: Neutron Attenuation and Mean Free Path
-description: Calculating the intensity of a neutron beam as it passes through a target material based on penetration distance, and deriving the mean free path of neutrons from this relationship.
+description: Calculate the intensity of a neutron beam as it penetrates a target material, derive the mean free path of neutrons, and determine macroscopic cross-sections for homogeneous mixtures and molecules containing multiple nuclides.
 categories: [Nuclear Engineering, Basis]
 tags: [Nuclear Physics, Interaction of Radiation with Matter]
 math: true
 image: /assets/img/atoms.webp
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+
 ## Neutron Attenuation
-Consider a monoenergetic neutron beam with intensity $I_0$ irradiating a target with thickness $X$, with a neutron detector placed at some distance behind the target. Let's assume that both the target and detector are very small, and the detector has a small solid angle that allows it to detect only a portion of the neutrons passing through the target. Under these conditions, all neutrons that interact with the target will either be absorbed or scattered away in different directions, so only neutrons that don't interact with the target will reach the detector.
+Consider a monoenergetic neutron beam with intensity $I_0$ irradiating a target of thickness $X$, with a neutron detector placed at some distance behind the target. Assume both the target and detector are very small, and the detector has a small solid angle that allows it to detect only a portion of the neutrons emerging from the target. All neutrons that collide with the target will either be absorbed or scattered away in different directions, so only neutrons that do not interact with the target will reach the detector.
 
-Let $I(x)$ be the intensity of the neutron beam that remains uncollided after traveling a distance $x$ within the target. When a neutron beam passes through a very thin target of thickness $\tau$, the number of collisions per unit area is $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[neutrons/cm}^2\cdot\text{s]}$ (refer to equations (1) and (4) in [Neutron Interactions and Cross-sections](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#cross-section-or-microscopic-cross-section)). Therefore, the decrease in neutron beam intensity while traveling a distance $dx$ within the target is:
+Let $I(x)$ be the intensity of the neutron beam that remains uncollided after traveling a distance $x$ within the target. When neutrons pass through a thin target of thickness $\tau$, the number of collisions per unit area is $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[neutrons/cm}^2\cdot\text{s]}$ (refer to equation [(1)](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#mjx-eqn%3Aeqn%3Amicroscopic_cross_section) and [(8)](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#mjx-eqn%3Aeqn%3Areaction_rate) in [Neutron Interactions and Cross-sections](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/)). Therefore, the decrease in neutron beam intensity while traveling a distance $dx$ within the target is:
 
 $$ -dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1} $$
 
@@ -19,14 +20,14 @@ $$ \frac{dI}{I} = -\Sigma_t dx $$
 
 $$ I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2} $$
 
-This shows that the neutron beam intensity decreases exponentially with the distance traveled through the target.
+This shows that the neutron beam intensity decreases exponentially with distance traveled through the target.
 
 ## Mean Free Path
 - The average distance a neutron travels between successive collisions with nuclei
 - In other words, the average distance a neutron travels without collision
 - Denoted by the symbol $\lambda$
 
-The ratio $I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ represents the probability that a neutron will travel a distance $x$ within the medium without colliding with any nuclei. Therefore, the probability $p(x)dx$ that a neutron travels a distance $x$ without collision and then collides within a distance $dx$ is:
+The ratio $I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ represents the probability that a neutron will travel a distance $x$ through the medium without colliding with any nuclei. Therefore, the probability $p(x)dx$ that a neutron travels a distance $x$ without collision and then collides within a distance $dx$ is:
 
 $$ \begin{align*}
 p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx
@@ -42,6 +43,24 @@ $$ \begin{align*}
 \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx
 \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right)
 \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty
-\\ &= 1/\Sigma_t \tag{3}
+\\ &= 1/\Sigma_t \label{eqn:mean_free_pass}\tag{3}
 \end{align*}
 $$
+
+## Macroscopic Cross-Section of a Homogeneous Mixture
+Consider a homogeneous mixture containing two nuclides $X$ and $Y$ with atomic densities $N_X$ and $N_Y$ $\text{atom/cm}^3$, respectively. If the microscopic cross-sections for a specific neutron reaction with these nuclei are $\sigma_X$ and $\sigma_Y$, then:
+
+The probabilities of neutron collision per unit path length with nuclei $X$ and $Y$ are $\Sigma_X=N_X\sigma_X$ and $\Sigma_Y=N_Y\sigma_Y$, respectively (see [Macroscopic Cross-section](/posts/Neutron-Interactions-and-Cross-sections/#macroscopic-cross-section)). Therefore, the total probability of neutron reaction per unit path length is:
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+$$ \Sigma = \Sigma_X + \Sigma_Y = N_X\sigma_X + N_Y\sigma_Y \label{eqn:cross_section_of_mixture}\tag{4}$$
+
+## Equivalent Cross-Section of a Molecule
+If the nuclei discussed above exist in molecular form, we can define an equivalent cross-section for the molecule by dividing the macroscopic cross-section of the mixture (calculated using equation ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$)) by the number of molecules per unit volume.
+
+If there are $N$ molecules of $X_mY_n$ per unit volume, then $N_X=mN$ and $N_Y=nN$. From equation ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$), we can determine the equivalent cross-section of this molecule as:
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+$$ \sigma = \frac{\Sigma}{N}=m\sigma_X + n\sigma_Y \label{eqn:equivalent_cross_section}\tag{5} $$
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+> Equations ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) and ($\ref{eqn:equivalent_cross_section}$) are valid under the assumption that nuclei $X$ and $Y$ interact independently with neutrons. This assumption holds for all types of neutron reactions except for elastic scattering.
+> For elastic scattering by molecules and solids (especially in the low-energy region), this assumption cannot be applied, and scattering cross-sections must be determined experimentally.
+{: .prompt-warning }