Update linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

Author: yunseo-kim

_posts/de/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -91,7 +91,7 @@ Nach **Satz 3** gilt: Bilden $n$ verschiedene Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}
 > Sei $S$ eine endliche Menge mit $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$. Dann enthält $S$ eine Teilmenge, die eine Basis von $\mathbb{V}$ ist. Insbesondere hat $\mathbb{V}$ in diesem Fall eine endliche Basis.
 {: .prompt-info }
 
-> Viele Vektorräume erfüllen **Satz 4**, aber nicht alle. <u>Eine Basis kann auch unendlich sein</u>.
+> Viele Vektorräume fallen in den Anwendungsbereich von **Satz 4**, aber nicht zwingend alle. <u>Eine Basis kann auch unendlich sein</u>.
 {: .prompt-tip }
 
 ### Dimension

_posts/en/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -28,7 +28,7 @@ If some vector in $S$ is a linear combination of the others, then there exists a
 Generalizing this, we define **linear dependence** and **linear independence** as follows.
 
 > **Definition**  
-> For a subset $S$ of a vector space $\mathbb{V}$, if there exist finitely many distinct vectors $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ and scalars $a_1, a_2, \dots, a_n$, not all zero, such that $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$, then the set $S$ (and those vectors) is called **linearly dependent**. Otherwise, it is called **linearly independent**.
+> For a subset $S$ of a vector space $\mathbb{V}$, if there exist finitely many distinct vectors $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ and scalars $a_1, a_2, \dots, a_n$, not all $0$, such that $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$, then the set $S$ (and those vectors) is called **linearly dependent**. Otherwise, it is called **linearly independent**.
 {: .prompt-info }
 
 For any vectors $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$, if $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ then $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$; this is called the **trivial representation of the zero vector**.
@@ -91,8 +91,7 @@ By **Theorem 3**, if the distinct vectors $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \m
 > If $S$ is a finite set with $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, then some subset of $S$ is a basis of $\mathbb{V}$. In particular, in this case every basis of $\mathbb{V}$ is finite.
 {: .prompt-info }
 
-> Many vector spaces satisfy **Theorem 4**, but not all do. <u>A basis need not be finite</u>.
-{: .prompt-tip }
+> Many vector spaces fall under the scope of **Theorem 4**, but not all do. <u>A basis need not be finite</u>.{: .prompt-tip }
 
 ### Dimension
 

_posts/fr/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -91,7 +91,7 @@ D’après le **Théorème 3**, lorsque $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mat
 > Si $S$ est un ensemble fini tel que $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, alors $S$ possède un sous-ensemble qui est une base de $\mathbb{V}$. En particulier, $\mathbb{V}$ admet une base finie dans ce cas.
 {: .prompt-info }
 
-> Un grand nombre d’espaces vectoriels satisfont le **Théorème 4**, mais pas tous. <u>Une base peut être infinie</u>.
+> Un grand nombre d’espaces vectoriels entrent dans le champ d’application du **Théorème 4**, mais pas tous. <u>Une base peut être infinie</u>.
 {: .prompt-tip }
 
 ### Dimension

_posts/ja/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -28,7 +28,7 @@ $$ a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \math
 これを一般化して、次のように**線形従属**と**線形独立**を定義する。
 
 > **定義**  
-> ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ について、$a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$ を満たす有限個の互いに異なるベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ と、少なくとも 1 つが 0 でないスカラー $a_1, a_2, \dots, a_n$ が存在すれば、集合 $S$ およびそのベクトルは**線形従属（linearly dependent）**であるという。そうでない場合は**線形独立（linearly independent）**という。
+> ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ について、$a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$ を満たす有限個の互いに異なるベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ と、少なくとも 1 つが $0$ でないスカラー $a_1, a_2, \dots, a_n$ が存在すれば、集合 $S$ およびそのベクトルは**線形従属（linearly dependent）**であるという。そうでない場合は**線形独立（linearly independent）**という。
 {: .prompt-info }
 
 任意のベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ に対し $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ なら $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$ であり、これを**零ベクトルの自明な表現（trivial representation of $\mathbf{0}$）**という。
@@ -91,8 +91,7 @@ $$ a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \math
 > 有限集合 $S$ について $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$ なら、$S$ の部分集合の中に $\mathbb{V}$ の基底が存在する。すなわち、この場合 $\mathbb{V}$ の基底は有限集合である。
 {: .prompt-info }
 
-> 多くのベクトル空間が**定理 4**に当てはまるが、必ずしもそうとは限らない。<u>基底は有限集合でない場合もある</u>。
-{: .prompt-tip }
+> 多くのベクトル空間が**定理 4**の適用対象に該当するが、必ずしもそうとは限らない。<u>基底は有限集合でない場合もある</u>。{: .prompt-tip }
 
 ### 次元
 

_posts/ko/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -28,7 +28,7 @@ $$ a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \math
 이를 일반화하여, 다음과 같이 **선형종속**과 **선형독립**을 정의한다.
 
 > **정의**  
-> 벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$와 적어도 하나가 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$이 존재하면 집합 $S$ 및 그 벡터들은 **선형종속(linearly dependent)**이라 한다. 그렇지 않은 경우는 **선형독립(linearly independent)**이라 한다.
+> 벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$와 적어도 하나가 $0$이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$이 존재하면 집합 $S$ 및 그 벡터들은 **선형종속(linearly dependent)**이라 한다. 그렇지 않은 경우는 **선형독립(linearly independent)**이라 한다.
 {: .prompt-info }
 
 임의의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$에 대하여 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$이면 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$이며, 이를 **영벡터의 자명한 표현(trivial representation of $\mathbf{0}$)**이라 한다.
@@ -85,13 +85,13 @@ $$ a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \math
 >
 {: .prompt-info }
 
-**정리 3**에 따르면, 서로 다른 $n$개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$가 벡터공간 $\mathbb{V}$의 기저를 형성할 경우 해당 벡터공간 안에서는 벡터 $\mathbf{v}$가 주어지면 그에 대응하는 스칼라 $n$순서쌍 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$이 결정되고, 반대로 스칼라 $n$순서쌍이 주어지면 그에 대응하는 벡터 $\mathbf{v}$를 얻을 수 있다. 나중에 **가역성**과 **동형사상**에 대해 공부할 떄 다시 정리하겠지만, 이 경우 벡터공간 $\mathbb{V}$와 $F^n$은 <u>본질적으로 같다</u>.
+**정리 3**에 따르면, 서로 다른 $n$개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$가 벡터공간 $\mathbb{V}$의 기저를 형성할 경우 해당 벡터공간 안에서는 벡터 $\mathbf{v}$가 주어지면 그에 대응하는 스칼라 $n$순서쌍 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$이 결정되고, 반대로 스칼라 $n$순서쌍이 주어지면 그에 대응하는 벡터 $\mathbf{v}$를 얻을 수 있다. 나중에 **가역성**과 **동형사상**에 대해 공부할 때 다시 정리하겠지만, 이 경우 벡터공간 $\mathbb{V}$와 $F^n$은 <u>본질적으로 같다</u>.
 
 > **정리 4**  
 > 유한집합 $S$에 대해 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$이면, $S$의 부분집합 중 $\mathbb{V}$의 기저가 존재한다. 즉, 이 경우 $\mathbb{V}$의 기저는 유한집합이다.
 {: .prompt-info }
 
-> 벡터공간의 상당수가 **정리 4**에 해당하지만, 반드시 그런 것은 아니다. <u>기저는 유한집합이 아닐 수도 있다</u>.
+> 벡터공간의 상당수가 **정리 4**의 적용 대상에 해당하지만, 반드시 그런 것은 아니다. <u>기저는 유한집합이 아닐 수도 있다</u>.
 {: .prompt-tip }
 
 ### 차원

_posts/pt-BR/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -91,7 +91,7 @@ Pelo **Teorema 3**, quando vetores distintos $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots,
 > Se $S$ é um conjunto finito tal que $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, então algum subconjunto de $S$ é uma base de $\mathbb{V}$. Portanto, nesse caso, $\mathbb{V}$ admite uma base finita.
 {: .prompt-info }
 
-> Muitos espaços vetoriais satisfazem o **Teorema 4**, mas não todos. <u>Uma base pode ser infinita</u>.
+> Muitos espaços vetoriais se enquadram no escopo de aplicação do **Teorema 4**, mas nem todos. <u>Uma base pode ser infinita</u>.
 {: .prompt-tip }
 
 ### Dimensão

_posts/zh-TW/2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md

@@ -26,7 +26,7 @@ $$ a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \math
 推而廣之，定義如下的**線性相依**與**線性獨立**。
 
 > **定義**  
-> 對向量空間 $\mathbb{V}$ 的子集 $S$，若存在有限多個彼此不同的向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ 與至少一個不為 0 的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$，則稱集合 $S$ 與其中向量**線性相依（linearly dependent）**。否則稱為**線性獨立（linearly independent）**。
+> 對向量空間 $\mathbb{V}$ 的子集 $S$，若存在有限多個彼此不同的向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ 與至少一個不為 $0$ 的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$，則稱集合 $S$ 與其中向量**線性相依（linearly dependent）**。否則稱為**線性獨立（linearly independent）**。
 {: .prompt-info }
 
 對任意向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$，當 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ 時，必有 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$。此稱為**零向量的平凡表示（trivial representation of $\mathbf{0}$）**。
@@ -89,8 +89,7 @@ $$ a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \math
 > 若有限集合 $S$ 滿足 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$，則 $S$ 的某個子集是 $\mathbb{V}$ 的基底。亦即，此時 $\mathbb{V}$ 的基底為有限集。
 {: .prompt-info }
 
-> 許多向量空間符合**定理 4**，但未必一概如此。<u>基底也可能不是有限集</u>。
-{: .prompt-tip }
+> 許多向量空間屬於**定理 4**的適用對象，但未必一概如此。<u>基底也可能不是有限集</u>。{: .prompt-tip }
 
 ### 維度
 

tools/hash.csv

@@ -57,4 +57,4 @@
 2025-09-07-vectors-and-linear-combinations.md,326093feef47fafe04fecf9ad75c960271c6460eca7df3e1a3d267c5b6bd23a6
 2025-09-10-inner-product-and-norm.md,e6a3abb24ab6f738e7817dd57251f2d821ab8ad78c8b77146597677cc43ea786
 2025-09-13-vector-spaces-subspaces-and-matrices.md,5e835ebdb89973cf5d7c82cb06f29a324f24bd3eaae2e419b47b429649d2550f
-2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md,d76d9e0a25ff2befeb38b5d58c1fa0e8d153c12adb99d1695c64a5bd7703f012
+2025-09-16-linear-dependence-and-independence-basis-and-dimension.md,3e5b6f85556b4b3c00c95b8a88068adc52807204413fa66805b22f73c0336a2e