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Author: yunseo-kim

_posts/de/2025-04-20-method-of-undetermined-coefficients.md

@@ -27,8 +27,11 @@ image: /assets/img/math-and-physics-cropped.png
 
 ## Prerequisites
 - [2계 동차 선형 상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)](/posts/homogeneous-linear-odes-of-second-order/)
+- [상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/)
+- [오일러-코시 방정식](/posts/euler-cauchy-equation/)
 - [브론스키언(Wronskian), 해의 존재와 유일성](/posts/wronskian-existence-and-uniqueness-of-solutions/)
 - [2계 비동차 선형 상미분방정식 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)](/posts/nonhomogeneous-linear-odes-of-second-order/)
+- 벡터공간, 선형생성(선형대수학)
 
 ## 미정계수법
 $r(x) \not\equiv 0$인 2계 비동차 선형 상미분방정식
@@ -71,20 +74,20 @@ $$ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constan
 ### 합규칙의 증명
 $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$ 꼴인 비동차 선형 상미분방정식
 
-$$ y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_1(x) + r_2(x) $$
+$$ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x) $$
 
 를 생각하자. 이제 동일한 좌변에 입력으로는 $r_1$, $r_2$를 갖는 다음의 두 방정식
 
 $$ \begin{gather*}
-y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_1(x) \\
-y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_2(x)
+y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\
+y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x)
 \end{gather*} $$
 
 가 각각 ${y_p}_1$, ${y_p}_2$를 해로 가진다고 하자. 주어진 방정식의 좌변을 $L[y]$로 표기하면, $L[y]$의 선형성에 의해 $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$에 대해 다음을 만족하므로 합규칙이 성립한다.
 
 $$ L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare $$
 
-### 예제: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$
+## 예제: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$
 기본규칙 (a)에 따라 $y_p = Ce^{\gamma x}$으로 놓고 주어진 방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$에 대입하면
 
 $$ \gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x} $$
@@ -93,14 +96,14 @@ $$ C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x} $$
 
 $$ C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k. $$
 
-#### $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$인 경우
+### $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$인 경우
 다음과 같이 미정계수 $C$를 결정하고 $y_p$를 구할 수 있다.
 
 $$ C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} $$
 
 $$ y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}. $$
 
-#### $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$인 경우
+### $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$인 경우
 이 경우 변형규칙 (b)를 적용해야 한다. 우선 $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$임을 이용하여 동차 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$의 특성방정식의 근을 구하자.
 
 $$ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0 $$
@@ -117,7 +120,7 @@ $$ y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x} $$
 
 을 얻는다.
 
-##### $\gamma \neq -a-\gamma$인 경우
+#### $\gamma \neq -a-\gamma$인 경우
 $y_p$로 선택했던 $Ce^{\gamma x}$이 주어진 방정식에 대응하는 동차 상미분방정식의 이중근이 아닌 해이므로, 변형규칙 (b)에 따라 이 항에 $x$를 곱하여 $y_p = Cxe^{\gamma x}$으로 놓는다.
 
 이제 변형한 $y_p$를 다시 주어진 방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$에 대입하면
@@ -132,7 +135,7 @@ $$ C(2\gamma + a) = k $$
 
 $$ \therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}. $$
 
-##### $\gamma = -a-\gamma$인 경우
+#### $\gamma = -a-\gamma$인 경우
 이 경우 $y_p$로 선택했던 $Ce^{\gamma x}$이 주어진 방정식에 대응하는 동차 상미분방정식의 이중근이므로, 변형규칙 (b)에 따라 이 항에 $x^2$을 곱하여 $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$으로 놓는다.
 
 이제 변형한 $y_p$를 다시 주어진 방정식 $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$에 대입하면
@@ -144,3 +147,100 @@ $$ 2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x} $$
 $$ 2C = k $$
 
 $$ \therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}. $$
+
+## 미정계수법의 확장: 함수들의 곱 형태인 $r(x)$
+$r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 꼴인 비동차 선형 상미분방정식
+
+$$ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) $$
+
+를 생각하자. $r(x)$를 이와 같이 지수함수 $e^{\alpha x}$, $x$의 거듭제곱 $x^m$, $\cos{\omega x}$ 또는 $\sin{\omega x}$(여기서는 $\cos$이라 가정하며, 이렇게 해도 일반성을 잃지 않는다), 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱이라고 하면(즉, 앞선 표의 첫 번째 열에 있는 함수들의 합과 곱으로 표현할 수 있다고 하면), 동일한 표의 두 번째 열에 있는 함수들의 합과 곱인 방정식의 해 $y_p$가 존재함을 보일 것이다.
+
+> 엄밀한 증명을 위해 선형대수학을 사용하여 기술한 부분이 있는데, 그러한 부분은 \*로 표시하였다. 해당 부분을 건너뛰고 나머지 부분만 읽어도 개략적인 이해에는 문제가 없다.
+{: .prompt-tip }
+
+### 벡터공간 $V$ 정의\*
+$$ \begin{align*}
+r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\
+&= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)
+\end{align*} $$
+
+인 $r(x)$에 대하여, $r(x) \in V$인 벡터공간 $V$를 다음과 같이 잡을 수 있다.
+
+$$ V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}$$
+
+### 지수함수, 다항함수, 삼각함수의 도함수 형태
+앞선 표의 첫 열로 제시된 기본 함수들의 도함수 형태는 다음과 같다.
+- 지수함수: $\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
+- 다항함수: $\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
+- 삼각함수: $\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$
+
+이들 함수들을 미분하여 얻는 도함수 역시 <u>같은 종류의 함수들의 합</u>으로 표현된다.
+
+따라서, 함수 $f$와 $g$가 위의 함수들 또는 이들의 합이라고 할 때, $r(x) = f(x)g(x)$에 대해 곱의 미분법을 적용하면
+
+$$ \begin{align*}
+(fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\
+(fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime}
+\end{align*} $$
+
+이고 여기서 $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$과 $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$은 모두 지수함수, 다항함수, 삼각함수의 합 또는 상수배 형태로 쓸 수 있다. 따라서 $r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$, $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ 역시 $r(x)$와 마찬가지로 이들 함수의 합과 곱으로 표현할 수 있다.
+
+### $V$의 미분 연산 $D$, 선형 변환 $L$에 대한 불변\*
+즉, $r(x)$ 자기 자신뿐만 아니라 $r^{\prime}(x)$, $r^{\prime\prime}(x)$ 역시 $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$꼴 항들과 $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$꼴 항들의 선형 결합이므로
+
+$$ r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V. $$
+
+$r(x)$로 한정하지 않고 앞서 정의한 벡터공간 $V$의 모든 원소에 대해 미분 연산자 $D$를 도입하여 보다 일반적으로 표현하면, *벡터공간 $V$는 미분 연산 $D$에 대해 닫혀 있다*. 따라서 주어진 방정식의 좌변 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$를 $L[y]$로 표기하면, *$V$는 $L$에 대해 불변(invariant)이다*.
+
+$$ D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V. $$
+
+$r(x) \in V$이고 $V$가 $L$에 대해 불변이므로, $L[y_p] = r$을 만족하는 $V$의 또다른 원소 $y_p$가 존재한다.
+
+$$ \exists y_p \in V: L[y_p] = r $$
+
+### Ansatz
+따라서, 모든 가능한 곱꼴 항들의 합이 되도록 적절한 $y_p$를 미정계수 $A_0, A_1, \dots, A_n$과 $K$, $M$을 이용하여 다음과 같이 선택하면, 기본규칙 (a)와 변형규칙 (b)에 따라 $y_p$(또는 $xy_p$, $x^2y_p$)와 그 도함수들을 주어진 방정식에 대입함으로써 미정계수를 결정할 수 있다. 이때 $n$은 $r(x)$의 $x$에 대한 차수에 따라 결정하면 된다.
+
+$$ y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}). $$
+
+$\blacksquare$
+
+> 만약 주어진 입력 $r(x)$가 서로 다른 여러 $\alpha_i$, $\omega_j$ 값들을 포함한다면, 각 $\alpha_i$와 $\omega_j$ 값에 대해서도 가능한 모든 $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$, $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$꼴 항들을 빠짐없이 포함할 수 있게 $y_p$를 선택해야 한다.  
+> 미정계수법의 장점은 간편하다는 것이므로, 가설 풀이(ansatz)가 너무 복잡해져서 이러한 장점이 퇴색되는 경우라면 차라리 추후 다룰 매개변수변환법을 적용하는 게 더 나을 수 있다.
+{: .prompt-warning }
+
+## 미정계수법의 확장: 오일러-코시 방정식
+[상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식](/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/)뿐만 아니라, [오일러-코시 방정식](/posts/euler-cauchy-equation/)
+
+$$ x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}$$
+
+에 대해서도 미정계수법을 활용할 수 있다.
+
+### 변수 치환
+[$x = e^t$로 치환하여 상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식으로 변환](/posts/euler-cauchy-equation/#상수계수를-갖는-2계-동차-선형-상미분방정식으로의-변환)하면
+
+$$ \frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right) $$
+
+이 되어, 오일러-코시 방정식을 다음과 같이 $t$에 대한 상수계수 동차 선형 상미분방정식으로 바꿀 수 있음을 앞서 알아본 바 있다.
+
+$$ y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6} $$
+
+이제 식 ($\ref{eqn:substituted}$)에 대해 [앞서 살펴본 미정계수법](#미정계수법)을 동일하게 적용하여 $t$에 대해 풀고, 마지막에 $t = \ln x$임을 이용하여 $x$에 대한 해를 구하면 된다.
+
+### $r(x)$가 $x$의 거듭제곱, 자연로그, 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱인 경우
+특히 입력 $r(x)$가 $x$의 거듭제곱, 자연로그, 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱으로 이루어진 경우, 다음의 오일러-코시 방정식용 선택 규칙에 따라 적절한 $y_p$를 곧바로 선택할 수 있다.
+
+> **미정계수법에 대한 선택 규칙: 오일러-코시 방정식용**  
+> **(a) 기본규칙(basic rule)**: 식 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$)에서 $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들 중 하나라면 같은 행의 $y_p$를 선택하고, $y_p$와 그 도함수들을 식 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$)에 대입함으로써 미정계수를 결정한다.  
+> **(b) 변형규칙(modification rule)**: $y_p$로 선택한 항이 식 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$)에 대응하는 동차 상미분방정식 $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$의 해가 된다면, 이 항에 $\ln{x}$(또는 만약 이 해가 동차 상미분방정식의 특성방정식의 이중근에 해당한다면 $(\ln{x})^2$)를 곱한다.  
+> **(c) 합규칙(sum rule)**: $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들의 합이라면, 두 번째 열의 대응하는 행에 있는 함수들의 합을 $y_p$로 선택한다.
+>
+> | $r(x)$의 항 | $y_p(x)$에 대한 선택 |
+> | :--- | :--- |
+> | $kx^m\ (m=0,1,\cdots)$ | $Ax^m$ |
+> | $kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$ | $x^m(B\ln x + C)$ |
+> | $k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$ | $D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$ |
+> | $kx^m (\ln{x})^s$<br>$(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$ | $x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$ |
+{: .prompt-info }
+
+이렇게 하면 실용적으로 중요한 형태의 입력 $r(x)$에 대하여 [변수 치환](#변수-치환)으로 얻는 것과 동일한 $y_p$를 보다 빠르고 간편하게 찾을 수 있다. 앞서 살펴본 [원래의 선택 규칙](#미정계수법)에서 $x$ 자리에 $\ln{x}$를 대신 넣으면 이 오일러-코시 방정식용 선택 규칙을 유도할 수 있다.