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Author: yokoyama-midori

_posts/2024-12-22-stanley1.md

@@ -47,15 +47,17 @@ $274$通り。
 
 $\mathrm{(e)}$ $[6]$の分割であってちょうど$3$ブロックになるものは何通り？なおこれは第2種スターリング数を用いて$S(6,3)$と表される。  
 
-$S(n,k) = k \cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$と$S(n,1)=1,S(n,2)=2^{n-1}-1,S(n,n-1)=
+$S(n,k) = k \cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$と$S(n,1)=1$,$S(n,2)=2^{n-1}-1$,$S(n,n-1)=
 \binom{n}{2}$を用いて
+
 $$
 \begin{align*}
 S(6,3) &= 3\cdot S(5,3)+S(5,2)\\ 
     &=3^2\cdot S(4,3)+5\cdot S(4,2)+S(4,1)\\
     &=9\cdot 6+5\cdot 7+1=90
 \end{align*}
 $$  
+
 $90$通り。
 
 $\mathrm{(f)}$  $4$人の男と$6$人の女がいる。それぞれの男が$1$人の女と結婚するのは何通り？  
@@ -68,7 +70,7 @@ $\mathrm{(g)}$ $10$人をそれぞれ$2$人組の$5$グループに分ける方
 
 $\mathrm{(h)}$  $2$または$3$のみによる$19$のcompositionは何通り？($n$のcompositionとは$\sum_i \alpha_i = n$となる正整数列$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$)  
 
-$2,3$の和として$19$を表す方法は$19 = 8\times 2+3 = 5\times 2 + 3\times 3 = 2\times 2 + 5\times 3$
+$2,3$の和として$19$を表す方法は$19 = 8\times 2+3$ $= 5\times 2 + 3\times 3$ $= 2\times 2 + 5\times 3$
 があるので、$\binom{9}{8}+\binom{8}{5}+\binom{7}{2}=9+56+21=86 $通り。  
 
 $\mathrm{(i)}$ `MISSISSIPPI`を並び替える方法であって、$4$つの`S`が連続して現れないものは何通り？  
@@ -81,7 +83,7 @@ $0$をしきり、$1$をボールだと思うと$4$つのしきりと$8$つの
 
 $\mathrm{(k)}$  箱の中に青い靴下が$3$つ、赤い靴下が$3$つ、黄緑色の靴下が$4$つある。$1$つずつ$8$つの靴下を取り出すとき、考えられる場合の数は？(ただし、同じ色の靴下は区別できない)  
 
-各色の靴下の数の候補としては$(3,3,2),(3,2,3),(3,1,4),(2,3,3),(2,2,4),(1,3,4) $があるので
+各色の靴下の数の候補としては$(3,3,2)$,$(3,2,3)$,$(3,1,4)$,$(2,3,3)$,$(2,2,4)$,$(1,3,4) $があるので
 
 $$ 
 3\cdot\binom{8}{2,3,3}+2\cdot\binom{8}{1,3,4}+\binom{8}{2,2,4}=2660
@@ -221,7 +223,10 @@ $$\sum_{n\ge 0}\binom{2n-1}{n}x^n = \frac{1}{2\sqrt{1-4x}}$$
 $f(m,n)$ を $(0,0)$ から $(m,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ まで$(1,0),(0,1),(1,1)$のステップで遷移するパスの場合の数とする。
 
 $\mathrm{(a)}[1+]$  
-$ \sum_{m\ge 0}\sum_{n \ge 0}f(m,n)x^m y^n = (1-x-y-xy)^{-1} $ を示せ。  
+
+$$ \sum_{m\ge 0}\sum_{n \ge 0}f(m,n)x^m y^n = (1-x-y-xy)^{-1} $$
+
+を示せ。  
 
 左辺は$1+(x+y+xy)+(x+y+xy)^2+\cdots$ と表されるから従う。