post : agc045a

Author: yokoyama-midori

_posts/2025-01-08-agc045-a.md

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+title: 【精進5】AGC045-A
+date: 2025-1-08 17:12:00 0900
+categories: [競技プログラミング]
+tags: [AtCoder,AGC,精進,XOR]
+math : true
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+[前の精進](https://yokoyama-midori.github.io/posts/abc283-g/)つながりで$\mathrm{xor}$の問題。後ろから考える。
+## 問題
+[A - Xor Battle](https://atcoder.jp/contests/agc045/tasks/agc045_a)  
+人$0$と人$1$がゲームをする。変数$x=0$とし$i$回目のラウンドで人$S_i$はなにもしないか$x \gets x\oplus A_i$とするかを選択する。最終的に人$0$は$x=0$を、人$1$は$x\ne 0$を目指すとき達成するのはどちらか？
+
+## 解法
+たいていのケースで人$1$が有利なルールに見えるため人$0$が勝つのがどのようなケースなのかを考察する。後ろから考えていく。$i=N$で$S_i=1$ならばその時点での$x$に対し、$x,x\oplus A_i$の少なくとも一方が$0$でないため人$0$は負ける。$S_i=0$の場合、$x\in\lbrace 0,A_i\rbrace$なら人$0$は勝つ。同様にある$i+1$で$x\in U$ならば人$0$が勝つ場合、$i$での勝利条件がどうなるかを考える。 $S_i=1$の場合、条件は$A_i \in U$かつ$x\in U$である。$S_i=0$の場合条件は$x\in U \cup \lbrace y\oplus A_i | y\in U \rbrace$である。これらの考察から人$0$の勝利条件は次のようになることが分かる。  
+
+> $\lbrace A_{i+1},\dots,A_N \rbrace$が張る空間に$A_i$が含まれないならば$S_i = 0$である。
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+この判定は前回の解説と[同様の方法](https://x.com/noshi91/status/1200702280128856064)でできる。
+```cpp
+#include "template.hpp"
+void solve() {
+    LL(n);
+    vl a(n);
+    input(a);
+    STR(s);
+    vl basis;
+    auto in = [&basis](ll num) -> bool {
+        for(auto e : basis)
+            chmin(num, e ^ num);
+        if(num) {
+            basis.push_back(num);
+            return true;
+        }
+        return false;
+    };
+    for(int i = n - 1; i >= 0; i--) {
+        bool flag = in(a[i]);
+        if(s[i] == '1' and flag) {
+            print(1);
+            return;
+        }
+    }
+    print(0);
+}
+
+int main() {
+    ios::sync_with_stdio(false);
+    std::cin.tie(nullptr);
+    cout << std::setprecision(16);
+    int t = 1;
+    cin >> t;
+    rep(_, t) {
+        solve();
+    }
+}
+
+```