update post : stanley1

Author: yokoyama-midori

_posts/2024-12-22-stanley1.md

@@ -2,22 +2,23 @@
 title: Stanley 数え上げ組合せ論1 演習問題
 # description: Short summary of the post.
 date: 2024-12-22 13:13:00 0900
+last_modified_at: 2025-01-04 17:07:00 +0800
 categories: [数学,組合せ論]
 tags: [Stanley]
 math : true
 ---
 
-## 1. [-1]
+## 1. [1-]
 $S,T$を互いに素な$1$要素の集合としたとき、$S \cup T$の要素数は？  
-2(それはそう)
+$2$.(それはそう)
 ## 2.[1+]
-$(a)$ $[10]$の部分集合であって少なくとも1つの奇数を含むものは何通り？   
+$\mathrm{(a)}$ $[10]$の部分集合であって少なくとも1つの奇数を含むものは何通り？   
 偶数と奇数別々に考えて良くて偶数の選び方は$2^5$,奇数の選び方は$2^5-1$だから$2^5\cdot(2^5-1) = 992$  
-$(b)$ $7$人の人を円環状の席に座らせる。各人の両隣が同じ場合同じ並べ方と見なす場合の座らせ方は何通り？  
+$\mathrm{(b)}$ $7$人の人を円環状の席に座らせる。各人の両隣が同じ場合同じ並べ方と見なす場合の座らせ方は何通り？  
 $1$の位置を固定して$6$人を円環状に座らせるのは$6!$通り。これは上の数え方でちょうど$2$回ずつ数えてしまっているから$6!/2 = 360$通り。  
-$(c)$ 順列$ w : [6] \rightarrow [6]$で$w(1)\ne2$を満たすものは何通り？  
+$\mathrm{(c)}$ 順列$ w : [6] \rightarrow [6]$で$w(1)\ne2$を満たすものは何通り？  
 順列全体は$6!$通りあり、そのうち$w(1) = 2$を満たすものは$5!$通りあるから$6!-5!= 600$通り  
-$(d)$ $[6]$の順列でちょうど$2$つのサイクルを持つものは何通り？  なおこれは符号なし第1種スターリング数$c(n,k)$を用いて$c(6,2)$と表される。  
+$\mathrm{(d)}$ $[6]$の順列でちょうど$2$つのサイクルを持つものは何通り？  なおこれは符号なし第1種スターリング数$c(n,k)$を用いて$c(6,2)$と表される。  
 標準表現で表すことを考える。(サイクル内の要素最大のものを最初に書き、各サイクルは要素最大のものの昇順に並べる。右上がり最大点(left-to-right maximum)の個数がサイクル数と一致する。)
 $[6]$の中から$i$$(1\le i < 6)$個選ぶ。このとき選んだ$i$個と選ばなかった$6-i$個でサイクルを作ると、標準表示で$2$つのサイクルの順序と、各サイクルの最初の要素は決まるので並べ方は$(i-1)!\cdot(6-i-1)!$通りある。$i$について和を取ると同じものを$2$回数えているから
 
@@ -34,3 +35,15 @@ i
 $$
 
 $274$通り。
+
+$\mathrm{(e)}$ $[6]$の分割であってちょうど$3$ブロックになるものは何通り？なおこれは第2種スターリング数を用いて$S(6,3)$と表される。  
+$S(n,k) = k \cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$と$S(n,1)=1,S(n,2)=2^{n-1}-1,S(n,n-1)=
+\binom{n}{2}$を用いて
+$$
+\begin{align*}
+S(6,3) &= 3\cdot S(5,3)+S(5,2)\\ 
+    &=3^2\cdot S(4,3)+5\cdot S(4,2)+S(4,1)\\
+    &=9\cdot 6+5\cdot 7+1=90
+\end{align*}
+$$  
+$90$通り。