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Author: yokoyama-midori

_posts/2024-12-22-stanley1.md

@@ -96,6 +96,18 @@ $ \text{\#} f^{-1}(n)$の多重集合として考えられるのは$\lbrace1,1,1
 ## 3.  
 次の恒等式に対し組合せ論的な証明を与えよ。ただし$x,y,n,a,b$は非負整数である。  
 
+$$\begin{flalign*}
+&\mathrm{(a)}[2-]
+\sum_{k=0}^{n}\binom{x+k}{k} = \binom{x+n+1}{n} &
+\end{flalign*}$$
+
+格子点 $(0,0)$ から $(x+1,n)$ へ移動することを考える。一回の操作では$x$座標または$y$座標が$1$増加する点へ移動する。移動の方法は $\binom{x+n+1}{n}$ 通りある。これらを $x$座標が$x$ から $x+1$へ移動する際の $y$ 座標の値で分類する。それを $k$ とすると、$ 0 \le k \le n$ であり、$(0,0)$ から $(x,k)$ までは $\binom{x+k}{k}$ 通り、 $(x+1,k)$ から $(x+1,n)$ までは$1$通り存在する。従って移動の方法は $\sum_{k=0}^{n}\binom{x+k}{k}$ 通りとも表示できる。
+
+(別の証明)  
+$[x+n+1]$ の要素数 $n$ の部分集合$S$が与えられたとき、 
+$ \\# (S \cup [x+k]) = k $ となる最大の $k$ が存在する。
+$k$ が与えられたとき、$S$ を $[x+k]$から $k$ 個と、$ \lbrace x+k+2,\dots, x+n+1 \rbrace $ を選ぶことにより構成できる。$k$ の定義から$x+k+1$ を選ばないことと、全体で$n$ 個選ぶことに注意する。
+
 $$\begin{flalign*}
 &\mathrm{(c)}[3]
 \sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k} = 4^n &