問題追加

Author: yokoyama-midori

_posts/2024-12-22-stanley1.md

@@ -286,6 +286,20 @@ $$
 \end{align*}
 $$  
 
+## 10.[2+]
+$f(n,r,s)$を$r$個の奇数と$s$個の偶数からなる$[2n]$の部分集合$S$であって、どの$2$つの要素も差が$1$ではないものの数とする。$f(n,r,s) = \binom{n-r}{s}\binom{n-s}{r}$を全単射を構成し証明せよ。
+
+$S$の要素を$a_1 < a_2 < \cdots < a_{r+s}$とする。多重集合$\lbrace a_1,a_2-2,\ldots,a_{r+s}-2(r+s-1) \rbrace$ は$r$個の奇数と$s$個の偶数からなる$[2(n-r-s+1)]$の多重集合である。逆にそのような任意の多重集合から$S$を復元することが出来る。
+従って
+
+$$
+\begin{align*}
+f(n,r,s) &= \left(\!\!{n-r-s+1 \choose r}\!\!\right) \left(\!\!{n-r-s+1 \choose s}\!\!\right) \\
+&= \binom{n-s}{r}\binom{n-r}{s}
+\end{align*}
+$$
+
+
 ## 13.  
 $p$を素数とし、$a\in \mathbb{P}$とする。（$ \mathbb{P} $は正整数全体の成す集合）$a^p-a$が$p$で割り切れることを組合せ論的に示せ。