Typo fixes and various corrections.

Author: shadow

sections/question-1.tex

@@ -19,7 +19,7 @@ \section{Метрические пространства}\label{sec:q-1}
 $$\sigma_r(x_0)=\left\{x \in E\colon \left\Vert x - x_0 \right\Vert = r\right\}$$
 называется \textit{сферой}. Очевидно, $\bar{S}_r(x_0)=S_r(x_0) \cup \sigma_r(x_0)$.\\
 
-\textit{Топологическое пространство} --- это уморядоченная пара $(X, \tau)$, где $X$ --- множество, $\tau$ --- множество подмножеств $X$, удовлетворяющее аксиомам:
+\textit{Топологическое пространство} --- это упорядоченная пара $(X, \tau)$, где $X$ --- множество, $\tau$ --- множество подмножеств $X$, удовлетворяющее аксиомам:
 \begin{enumerate}
 	\itemsep0em
 	\item Пустое множество и само $X$ входят в $\tau$;

sections/question-15.tex

@@ -12,8 +12,8 @@ \section{Обратимость линейных операторов}
 Будем говорить, что линейный оператор $A:X\rightarrow Y$ \textit{непрерывно обратим}, если существует обратный оператор $A^{-1} : Y \rightarrow X$, который ограничен и определен на всём $Y$.
 
 \subsubsection*{Теорема}
-Зададим множество нулей оператора $A$ следующим образом:
-$$N(A)=\{x \in DA(A) : Ax=0\}.$$
+Зададим множество нулей линейного оператора $A$ следующим образом:
+$$N(A)=\{x \in D(A) : Ax=0\}.$$
 Оператор $A$ переводит $D(A)$ в $R(A)$ взаимно однозначно тогда и только тогда, когда множество нулей оператора $A$ состоит только из элемента $0$ (т.е. $N(A) = \{0\}$) \cite[с.~127]{trenogin}.
 
 \subsubsection*{Теорема}

sections/question-2.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Полные метрические пространства}
 \label{sec:q-2}
-Метрическое пространство (\hyperref[sec:q-1]{см. вопрос 1}) называется \textit{полным}, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится (имеет предел, принадлежащий этому пространству). Полное метрическое пространство ещё называют \textit{банаховым} \cite[с.~42]{trenogin}.
+Нормированное пространство (\hyperref[sec:q-1]{см. вопрос 5}) называется \textit{полным}, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится (имеет предел, принадлежащий этому пространству). Полное нормированное пространство ещё называют \textit{банаховым} \cite[с.~42]{trenogin}.
 
 \textit{Евклидово пространство} --- это конечномерное линейное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция $(\cdot, \cdot)$, обладающая следующими тремя свойствами:
 \begin{enumerate}
@@ -19,7 +19,7 @@ \subsubsection*{Примеры банаховых пространств}
 	\itemsep0pt
 	\item Евклидовы пространства $E^n$.
 	\item Пространство непрерывных на $[a, b]$ функций $C[a, b]$. Этот факт можно показать при помощи следующей теоремы: если последовательность непрерывных на $[a, b]$ функций $\{x_n(t)\}$ сходится равномерно на $[a, b]$ к некоторой функции $x(t)$, то $x(t)$ непрерывна на $[a, b]$ \cite[с.~43]{trenogin}.
-	\item Пространство всех бесконечных последовательностей $(x_1, x_2, \dots)$ таких, что ряд $ \sum_{i = 1}^{\infty}|x_i|^p$, где $p \geqslant 1$, сходится является банаховым. Норма вводится как $ \sqrt{\sum_{i = 1}^{\infty}|x_i|^p}$.
+	\item Пространство всех бесконечных последовательностей $(x_1, x_2, \dots)$ таких, что ряд $ \sum_{i = 1}^{\infty}|x_i|^p$, где $p \geqslant 1$, сходится, является банаховым. Норма вводится как $ \sqrt{\sum_{i = 1}^{\infty}|x_i|^p}$.
 	\item Если $X$ и $Y$ --- банаховы пространства, то их прямая сумма $X \oplus Y$ тоже является банаховым пространством.
 	\item Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
 \end{itemize}

sections/question-40.tex

@@ -2,9 +2,9 @@ \section{Операторы Гильберта--Шмидта}
 \label{sec:q-40}
 \textit{Оператор Гильберта--Шмидта} --- это ограниченный оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ с конечной нормой Гильберта--Шмидта:
 $$\Vert A \Vert_{HS}^2 = \sum_{i \in I} \Vert A e_i \Vert^2 < \infty,$$
-где $\Vert \cdot \Vert$ --- норма пространства $H$, $\{e_i : i \in I\}$ --- ортонормированный базис в $H$.
+где $\Vert \cdot \Vert$ --- норма пространства $H$, $\{e_i : i \in I\}$ --- ортонормированный базис в $H$. Здесь $I$ --- некоторое множество индексов.
 
-Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.
+Если это верно в каком-то ортонормированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.
 
 Определение оператора Гильберта--Шмидта из учебника \cite[с.~460]{kolmogorov}:\\
 Оператор $A$, определяемый равенством $A \varphi = \psi$ вида

sections/question-6.tex

@@ -1,11 +1,11 @@
 \section{Теорема об эквивалентности норм}
 
 Пусть в линейном пространстве $E$ введены две нормы: $\Vert \cdot \Vert_1$ и $\Vert \cdot \Vert_2$. Если существует число $\beta > 1$, такое, что для любых $x \in E$ выполняется
-$$\Vert \cdot \Vert_1 \leqslant \beta \Vert \cdot \Vert_2,$$
+$$\Vert x \Vert_1 \leqslant \beta \Vert x \Vert_2,$$
 то будем говорить, что норма $\Vert \cdot \Vert_1$ \textit{подчинена} норме $\Vert \cdot \Vert_2$.
 
 Пусть $E$ --- линейное пространство и в $E$ двумя способами введены нормы: $\Vert x \Vert^{(1)}$ и $\Vert x \Vert^{(2)}$. Эти нормы называются \textit{эквивалентными}, если существуют числа $\alpha > 0, \beta > 0$ такие, что для любых $x \in E$ выполняется
-$$\alpha\Vert x \Vert^{(1)} \leqslant \Vert x \Vert^{(2)} \leqslant \Vert x \Vert^{(1)}.$$
+$$\alpha\Vert x \Vert^{(1)} \leqslant \Vert x \Vert^{(2)} \leqslant \beta\Vert x \Vert^{(1)}.$$
 Эквивалентность норм можно определить иначе: две нормы в линейном пространстве эквивалентны тогда и только тогда, когда каждая из них подчинена другой.
 
 \subsubsection*{Теорема (об эквивалентности норм)}

sections/question-9.tex

@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Непрерывные и ограниченные отображения}
 \label{sec:q-9}
-Пусть дано отображение $F : X \rightarrow Y$, определенный в окрестности точки $x_0$. Оператор $F$ называется \textit{непрерывным в точке $x_0$}, если $F(x)\rightarrow F(x_0)$ при $x \rightarrow x_0$.
+Пусть дано отображение $F : X \rightarrow Y$, определенное в окрестности точки $x_0$. Оператор $F$ называется \textit{непрерывным в точке $x_0$}, если $F(x)\rightarrow F(x_0)$ при $x \rightarrow x_0$.
 
 \subsubsection*{Теорема}
-Пусть линейный оператор $A$ задан в банаховом пространстве $X$ и со значениями в банаховом пространстве $Y$ непрерывен в точке $0 \in X$, тогда $A$ непрерывен в любой точке $x_0 \in X$\cite[c.~112]{trenogin}.\\
+Пусть линейный оператор $A$, заданный в банаховом пространстве $X$ и со значениями в банаховом пространстве $Y$, непрерывен в точке $0 \in X$, тогда $A$ непрерывен в любой точке $x_0 \in X$\cite[c.~112]{trenogin}.\\
 
 Будем называть линейное отображение $A:X\to Y$ в нормированном пространстве \textit{ограниченным}, если существует такое положительное число $C$, что $\|Ax\| \leqslant C\|x\|$ для любого $x$ из $D(A)$.