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Author: kumikosjtu

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@@ -143,9 +143,15 @@ $$
 关于 DFT 正变换的定义错误的是（）
 
 - [ ] 时域信号 $x[n]$ 和频域信号 $X[k]$ 都是因果有限长信号；
-- [ ] 求和项数可以小于 $x[n]$ 的长度；
+
+- [x] 求和项数可以小于 $x[n]$ 的长度；
+
 - [ ] DFT 点数，求和项数和频域取样点数三者一致；
-- [x] N 点 DFT 中的 $X[N/2]$ 是对傅里叶变换在 $\omega=\pi$ 处的取样。（错误，$N$ 需要是偶数）
+
+- [ ] N 点 DFT 中的 $X[N/2]$ 是对傅里叶变换在 $\omega=\pi$ 处的取样。
+  $$
+  X[N/2]=X(e^{j\omega})|_{\omega=\frac{2\pi \cdot N/2}{N}}=X(e^{j\pi})
+  $$
 
 ### 9
 
@@ -281,7 +287,7 @@ $$
 
 下图所示的信号流图表示的系统函数：
 $$
-H(z)=\underline{\left(1-\frac{1}{3}z^{-1}\right)\frac{1-2z^{-1}-3z^{-2}}{1+8z^{-1}+\frac{1}{4}z^{-1}}}
+H(z)=\underline{\left(1-\frac{1}{3}z^{-1}\right)\frac{1-2z^{-1}+3z^{-2}}{1+8z^{-1}-\frac{1}{4}z^{-2}}}
 $$
 ![](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_dc66d992a0d87828f05c297bdc3d7fa1.png)
 

数字信号处理/2022 DSP for ICE3301.html

@@ -449,6 +449,12 @@ $$
 
 1. 得到 $x(n)$ 是否为周期序列？如果是，$x(n)$ 的最小周期为多少？频率分辨率为多少 Hz?
 
+   是否会发生频谱混叠？原序列 $f_h=400\mathrm{~Hz}$，满足奈奎斯特条件：
+   $$
+   f_s>2f_h
+   $$
+   因此不会发生混叠。
+
    采样间隔为 $T_s=1/900 \mathrm{~s}$，则
    $$
    x(n)=x_a(nT_s)=\cos\left(\frac{2\pi}{9}n\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{9}n\right)
@@ -457,9 +463,10 @@ $$
 
    <u>频率分辨率</u> 可以通过下述表达式计算得到：
    $$
-   F_0=\frac{f_s}{N}=14.0625\mathrm{~Hz}
+   F_0=\frac{1}{NT_s}=\frac{f_s}{N}=14.0625\mathrm{~Hz}
    $$
-   
+   其中 $NT_s$ 可以理解为有效采样长度的时间。
+
 2. 不计算 $|Y(k)|$，确定 $|Y(k)|$ 最大峰值出现的位置 $k$ 和相应的实际频率。我们从 $|Y(k)|$ 中得到的实际频率和 $x(t)$ 的频率成分是否一致？原因是什么？
 
    计算 $x(n)$ 的 DTFT:
@@ -491,7 +498,14 @@ $$
 
 3. 如果我们想要 $|Y(k)|$ 中得到的实际频率和 $x(t)$ 频率成分一致，能否通过对于 64 点矩形窗截取的 $x(n)$ 进行补零来达成目的，原因是什么？能否通过增加矩形窗的长度来达到目的，原因是什么？
 
-   可以通过补零到 $N$ 为九的倍数，比如 $N=72$，补 8 个零，使得和实际频率成分一致。此时有较为明显的改善作用（好像和 WYY ppt 里的不太一样，很奇怪）
+   可以通过补零到 $N$ 为九的倍数，比如 $N=72$，补 8 个零，使得和实际频率成分一致。此时有较为明显的改善作用
+
+   > 此处应该具体问题具体分析，题目中频率谱线相隔较远，导致旁瓣对主瓣的遮盖作用不明显，加上取的点数 $N$ 较多，频率分辨率较小，导致补 8 个零具有明显的改善作用。假设信号：
+   > $$
+   > x(t)=\cos(2\pi f_1 t)+\cos (2\pi f_2 t),f_1=100\mathrm{~Hz},f_2=120\mathrm{~Hz}
+   > $$
+   > 频率间隔较小，取点 $N=32$，补 28 个零，没有明显的改善作用，此时可以增加窗的长度，提升谱分析的频率分辨率；选择其它旁瓣峰值衰减大
+   > 的窗函数，减小对弱信号的掩盖.
 
    ![image-20241220170938674](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_fb1892ce0131d90de77cab4c40e872a7.png)
 

数字信号处理/2022 DSP for ICE3301.txt

@@ -69,7 +69,8 @@ $$
 
 因此可以设计全通滤波器：
 $$
-H_{ap}(z)=\frac{z^{-1}-re^{-j\theta}}{1-re^{j\theta}z^{-1}}\cdot \frac{z^{-1}-re^{j\theta}}{1-r^{-j\theta}z^{-1}}
+H_{ap}(z)=\frac{z^{-1}-re^{-j\theta}}{1-re^{j\theta}z^{-1}}\cdot \frac{z^{-1}-re^{j\theta}}{1-r^{-j\theta}z^{-1}}\\=
+\frac{z^{-2}-2r\cos \theta z^{-1}+r^2}{1-2r\cos \theta z^{-1}+r^2 z^{-2}}
 $$
 
 ### 9
@@ -127,7 +128,7 @@ Given the following signal graph for an FFT algorithm
 
 2. Complete the graph with arrowed lines and coefficients.
 
-   ![](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_52c35c38c9a113ea8f56274cdab0c205.png)
+   ![](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_149dfb97ed6f6055a20d57ecb5eb1a22.png)
 
 3. Using the above graph, compute the 4-point DFT of the sequence $x(n)=\delta(n)+\delta(n-1)$.
    $$
@@ -171,13 +172,68 @@ The sampling interval is $T=1\mathrm{~s}$.
    \begin{aligned}
    X[k]&=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{nk}\\
    &=\sum_{m=0}^{N/2-1} (x[2m] W_{N}^{2mk}+x[2m+1]W_{N}^{2mk+k})\\
-   &=X_1[k]+W_{N}^{k} X_1[k]
+   &=X_1[k]+W_{N}^{k} X_2[k]
    \end{aligned}
    $$
 
    $$
-   X[k+N/2]=X_1[k]-W_{N}^{k} X_1[k]
+   X[k+N/2]=X_1[k]-W_{N}^{k} X_2[k]
    $$
 
-   ![](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_247d8e9dd5ccf07e4444d58429dfb95b.png)
+   ![](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_149dfb97ed6f6055a20d57ecb5eb1a22.png)
 
+2. Using the results in (1), plot the signal flow graph for the IFFT with $N=4$.
+
+   直接调换 $X,x$ 顺序，并且把 $W_{N}^{k}$ 改成 $W_{N}^{-k}$.
+
+3. Given the DFT for a 8-point sequence $x(n)$ is $X(k)=\{11,3,-5,3,3,3,-5,3\}$, use the result in (2) to calculate the sequence $x(2n)$.
+
+   - 前一半有：
+     $$
+     X[k]=X_1[k]+W_N^k X_2[k]
+     $$
+
+   - 后一半有：
+     $$
+     X[k+N/2]=X_1[k]-W_{N}^k X_2[k]
+     $$
+
+   因此，$X_1[k]=(X[k]+X[k+N/2])/2$
+   $$
+   X_1[k]=\{7,3,-5,3\}
+   $$
+   计算其 IDFT 为：
+   $$
+   \{2,3,-1,3\}
+   $$
+
+### 15
+
+Given the lowpass-to-bandpass transform in the analog domain is
+$$
+\overline{s}=\overline{\Omega}_p \frac{s^2+\Omega_{p2}\Omega_{p1}}{(\Omega_{p2}-\Omega_{p1})s}
+$$
+where $\overline{\Omega}_p$ is the passband edge frequency for the lowpass filter and $\Omega_{p1}$ and $\Omega_{p1}$ are the two passband edge frequencies for the bandpass filter, please derive the lowpass-to-bandpass transformation in the digital domain using bilinear transformation.
+
+代入双线性变换（取 $T=2$）：
+$$
+s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},\Omega=\tan\left(\frac{\omega}{2}\right)
+$$
+一般取归一化低通滤波器，$\overline{\Omega_p}=1$，令 $\Omega_{p0}=\sqrt{\Omega_{p1}\Omega_{p2}}$，$B_p=\Omega_{p2}-\Omega_{p1}$.
+$$
+\begin{aligned}
+\overline{s}&=\frac{s^2+\Omega_{p0}^2}{B_ps}\\
+&=\frac{(1-z^{-1})^2+\Omega_{p0}^2(1+z^{-1})^2}{B_p(1-z^{-2})}\\
+&=\frac{1+\Omega_{p0}^2}{B_p}\frac{1-z^{-2}+2\frac{\Omega_{p0}^2-1}{\Omega_{p0}^2+1}z^{-1}}{1-z^{-2}}
+\end{aligned}
+$$
+根据，
+$$
+\frac{\Omega_{p0}^2-1}{\Omega_{p0}^2+1}=\frac{\tan \left(\frac{\omega_1}{2}\right)\tan \left(\frac{\omega_2}{2}\right)-1}{\tan \left(\frac{\omega_1}{2}\right)\tan \left(\frac{\omega_2}{2}\right)+1}=\frac{\cos \left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\right)}\doteq \cos \omega_0
+$$
+
+$$
+\frac{1+\Omega_{p0}^2}{B_p}=\cot \left(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}\right)
+$$
+
+带进去化简即可. 再代入 $z=e^{j\omega}$ 可以得到频率间的关系。

数字信号处理/2022 DSP 中文班题目.html

@@ -118,8 +118,6 @@ $$
 
 ![image-20241221224056455](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_dd5266af638fd28342b4ab553d46e815.png)
 
-**正弦信号的采样** 画频谱图分析
-
 **能否可以区分采样频率和采样信号**
 
 - 两个不同频率的模拟正弦信号，使用相同频率采样，可能得到相同序列；
@@ -144,6 +142,8 @@ $$
 - 第一步连续时间信号 $x_a(t)$ 点乘抽样序列 $\delta_T(t)$，在频域上等价为进行周期为 $\Omega_s$ 的延拓，并且幅值变为原来 $1/T_s$.
 - 第二步取 $x[n]=\hat x_a(nT)=x_a(nT)$，等价为取 $-\Omega_s/2\sim \Omega_s/2$ 的部分，频谱 $\Omega_s/2$ 点映射到 $\pi$.
 
+**从频谱图上分析，可以简单记忆为 $\boldsymbol{[-\pi/T,\pi/T]}$ 的部分扩大 $T$ 倍到达 $\boldsymbol{[-\pi,\pi]}$，并且幅值相应缩小 $\boldsymbol T$.**
+
 <img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_3879b7e884b9a9c3696b134e77417dfa.png" style="zoom:23%;" />
 
 插值等价为两步：
@@ -154,7 +154,7 @@ $$
   \end{cases}$，在频域上等价为频谱 $\pi$ 点映射到 $\Omega_s/2$，并且进行周期为 $\Omega_{s}$ 的延拓.
 - 第二部使得序列通过截止频率为 $\Omega_s/2$ 的低通滤波器，其增益为 $1/f_s=T_s$.
 
-两步可以表示为：
+**从频谱图上分析，可以简单记忆为 $\boldsymbol{[-\pi,\pi]}$ 的部分缩小 $T$ 倍到达 $\boldsymbol{[-\pi/T,\pi/T]}$，并且幅值相应扩大 $\boldsymbol T$.**
 
 <img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_5f0ee34e3141a69fad944b1ab33b8738.png" style="zoom:25%;" />