更新自控

Author: kumikosjtu

.gitignore

@@ -2,3 +2,7 @@
 嵌入式系统与接口技术/2020.pdf
 自动控制原理/mason.ipynb
 自动控制原理/calib.m
+自动控制原理/calib.m
+自动控制原理/calib.m
+自动控制原理/ny.m
+自动控制原理/calib.m

sitemap.xml.gz

@@ -301,7 +301,21 @@ $$
    $$
    \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{200}{s^2+(4K_h+1)s+200}
    $$
-   替换 $s\gets s-2$，若原系统闭环极点为 $s_p$ 全部位于 $s=-2$ 左侧，则新系统闭环极点变为 $s_p+2$ 全部位于 $s=0$ 左侧，也就是系统稳定。解得 $K_h>4/3$.
+   替换 $s\gets s-2$，若原系统闭环极点为 $s_p$ 全部位于 $s=-2$ 左侧，则新系统闭环极点变为 $s_p+2$ 全部位于 $s=0$ 左侧，也就是系统稳定。
+   $$
+   \frac{200}{s^2+(4K_h-3)s+202-8K_h}
+   $$
+   需要满足：
+   $$
+   \begin{cases}
+   4K_h-3> 0\Rightarrow K_h>\frac{3}{4}\\
+   202-8K_h>0\Rightarrow K_h<\frac{101}{4}
+   \end{cases}
+   $$
+   我们也可以绘制参数根轨迹进行求解：
+   $$
+   \frac{4K_hs}{s^2+s+200}+1=0
+   $$
 
 #### 2
 
@@ -514,7 +528,7 @@ $$
 $$
 其中 $T_1,T_2$ 和 $K_2$ 为正常数。若要求 $r(t)=1+t$ 时，$c(t)$ 对 $r(t)$ 的稳态误差不大于正常数 $\varepsilon_0$，试问 $K_1$ 应该满足什么条件？已知初始条件全部为零。
 
-### 6
+#### 6
 
 1984 年 2 月 7 日，美国宇航员利用手持喷气推进装置，完成了人类历史上首次太空行走，宇航员机动控制系统结构图如图所示，其中喷气控制器可以用增益 $K_2$ 表示，$K_3$ 为速度反馈增益。若将宇航员以及他手臂上的装置一并考虑，系统总的转动惯量 $J=25 \mathrm{~N\cdot m\cdot s^2/rad}$. 要求：
 

自动控制原理/Part 1. 时域分析.html

@@ -45,7 +45,7 @@ $$
    $$
    与实轴交点坐标为：
    $$
-   \sigma=\frac{\sum_{i=1}^{m}z_i-\sum_{j=1}^{n}p_j}{n-m}
+   \sigma=\frac{-\sum_{i=1}^{m}z_i+\sum_{j=1}^{n}p_j}{n-m}
    $$
 
 3. <u>根轨迹的分离点和汇合点</u>：
@@ -61,9 +61,14 @@ $$
 
    > 注，可以直接使用计算器列出 $N(s)D'(s)-N'(s)D(s)=0$ 的表达式，然后牛顿迭代求解。
 
-   第二种方法称为 <u>开环零极点法</u>：
+   也可以使用 <u>开环零极点法</u>：
    $$
-   \sum_{i=1}^{n}\frac{v_i}{d-p_i}=\sum_{i=1}^m \frac{u_i}{d-z_i}
+   \frac{\mathrm d }{\mathrm d s}[\ln N(s)]=\frac{\mathrm d }{\mathrm d s}[\ln D(s)]
+   $$
+
+   $$
+   
+   \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d+p_i}=\sum_{i=1}^m \frac{1}{d+z_i}
    $$
    其中 $v_i,u_i$ 代表极点和零点的重数。
 
@@ -84,8 +89,8 @@ $$
 
 - <u>根轨迹与稳定性</u>：需要 $K$ 对应的这部分根轨迹全部位于虚轴左边；
 - <u>根轨迹与动态性能</u>：
-  - 系统响应是单调的，对应根都位于负实轴上；
-  - 系统响应衰减振荡，说明存在一对共轭复数的主导极点。
+  - 系统响应是单调的（临界阻尼状态、过阻尼状态），对应根都位于负实轴上；
+  - 系统响应衰减振荡（欠阻尼状态），说明存在一对共轭复数的主导极点。
 - <u>根轨迹与稳态性能</u>：
   - 增加开环零点，将使根轨迹向左半 $s$ 平面移动，将提高系统的稳定性；增加开环零点会吸引根轨迹朝着零点方向运动，零点越小，程度越明显。
   - 增加位于 $s$ 左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能降低；增加开环极点会排斥根轨迹朝着相反方向运动，极点越大，程度越明显。
@@ -303,3 +308,42 @@ $$
 5. 计算出射角。
 
 根据根轨迹图，可知为了使得系统
+
+## 7
+
+单位负反馈系统的开环传递函数为：
+$$
+G(s)=\frac{K_g}{s(s+1)(s+4)}
+$$
+
+1. 画出根轨迹（画出渐近线、分离点/汇合点、与虚轴的交点）
+
+   根轨迹 $n=3,m=0$.
+
+   - 分支数 $n=3$，每支都终止于无穷远处；
+
+   - 实轴上的根轨迹：$(-1,0)$ 和 $(-\infin,-4)$.
+
+   - 渐近线 $180^\circ,60^\circ,-60^\circ$，与实轴的交点为 $-5/3$；
+
+   - 分离点和汇合点：
+     $$
+     [s(s+1)(s+4)]'=0
+     $$
+     $s=-0.465$ 为分离点。
+
+   - 与虚轴的交点：列劳斯表可得 $K=20$，此时 $s=\pm 2j$.
+
+   <img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_ea2adbc7bfd79e15128f3774cbc74e1a.png" style="zoom:50%;" />
+
+2. 当系统的响应是单调的时候，确定 $K_g$ 范围。
+
+   需要保证稳定、而且极点都是实数，在分离点代入幅值条件：
+   $$
+   \left|\frac{K_g}{s(s+1)(s+4)}\right|=1\Rightarrow K_g=0.879
+   $$
+   因此此时 $0<K_g<0.879$.
+
+3. 当系统衰减振荡，确定 $K_g$ 范围。
+
+   还需要保证稳定，因此 $0.879<K_g<20$.

自动控制原理/Part 1. 时域分析.txt

@@ -4,9 +4,17 @@
 
 ## 系统的频率特性
 
+- **频率响应法**
+  - 当高阶系统的分析难以进行，某些传递函数难以列写时，整个系统的分析工作无法进行。
+  - 频率响应法是研究自动控制系统的一种工程方法，利用频率特性进行控制系统分析的图解方法。
+
 - **频率响应** 是系统对正弦输入信号的稳态响应；
+
 - **频率特性** 是描述系统频率响应与正弦输入信号之间幅值和相位关系的一种数学模型。
-- 线性定常系统在正弦输入信号的作用下，稳态响应是和输入信号频率相同的正弦信号，只是振幅和相位不同。
+
+  线性定常系统在正弦输入信号的作用下，稳态响应是和输入信号频率相同的正弦信号，只是振幅和相位不同。
+
+  例如输入 $A\sin (\omega t)$，稳态响应为 $A|G(j\omega)|\sin(\omega t+\varphi(j\omega))$.
 
 - **频率特性的表示方法**：
   - 解析形式：幅频/相频形式，指数形式，实频/虚频形式，三角函数形式；
@@ -88,23 +96,38 @@ G(j\omega)&=\frac{50}{j\omega(1+0.1j\omega)(1+0.2j\omega)}\\
 $$
 所以渐近线是 $\operatorname{Re}\{s\}= -15$.
 
+**Nyquist 图性质**：
+
+- 增加 $n$ 个有限负实极点时，$\omega =0\to \infin$ 时，曲线顺时针转过 $n\pi/2$.
+- 增加 $n$ 个有限负实极点时，$\omega =0\to \infin$ 时，曲线逆时针转过 $n\pi/2$.
+
 ### 最小相位系统
 
 **最小相位系统定义**：在系统的开环传递函数中，没有位于 $s$ 右半平面的零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统。
 
+例如以下两个系统
+$$
+G_1(s)=\frac{1+T_2s}{1+T_1s},G_2(s)=\frac{1-T_2s}{1+T_1s}
+$$
+<img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_81142fe44a355f5119cc00b56154d245.png" style="zoom: 33%;" />
+
 ## 稳定性判断
 
 ### Nyquist 稳定性判据
 
 构造 $F(j\omega)=1+G(j\omega)H(j\omega)$ 为闭环系统的特征方程，$F(j\omega)$ 在右半平面的零点数就对应闭环系统在右半平面的极点数，如果在右半平面的极点数大于零，则系统不稳定。
 
-由 **幅角原理**，$s$ 平面上的 Nyquist 回线在 $F(s)$ 平面上的映射 $F(j\omega)$ 当 $\omega$ 从 $-\infin \to +\infin$ 时顺时针围绕坐标原点的次数 $N$ 为：
+**幅角原理**：在 $s$ 平面上任一闭合路径 $\Gamma_s$ 包围了 $F(s)$ 的 $Z$ 个零点和 $P$ 个极点，并且不经过 $F(s)$ 的任一零点和极点。当 $s$ 沿闭合路径 $\Gamma_s$ 顺时针方向旋转一圈时，映射到 $F(s)$ 平面内的 $F(s)$ 曲线顺时针绕原点 $N=Z-P$ 圈。
+
+构造 **Nyquist 路径**：$s=-j\infin\to -j0\to +j0\to +j\infin \to -j\infin$，并且不包含虚轴上的极点，则可以包含右半平面所有的极点和零点。
+
+假如 $s$ 沿着 Nyquist 路径绕一圈，研究 $F(s)$ 曲线 $\Gamma_F$ 沿着顺时针方向绕原点的圈数 $N=Z-P$，此时 $Z,P$ 分别是右半平面的零点数和极点数。
+
+研究 $G(j\omega)H(j\omega)=F(j\omega)-1$，此时 $F(j\omega)$ 绕原点的情况就相当于 $G(j\omega)H(j\omega)$ 绕 $(-1,j0)$ 点的情况，假如绕 $N_{-1}$ 圈，满足：
 $$
-\boxed{N=Z-P}
+\boxed{N_{-1}=Z-P}
 $$
-其中 $Z$ 为 $F(s)$ 位于右半平面的零点数，$P$ 为 $F(s)$ 位于右半平面的极点数（不稳定的极点数）。
-
-研究 $G(j\omega)H(j\omega)=F(j\omega)-1$，此时 $F(j\omega)$ 绕原点的情况就相当于 $G(j\omega)H(j\omega)$ 绕 $(-1,j0)$ 点的情况。此时令 $Z_{-1}$ 为闭环系统 $G(s)H(s)$ 在 $s$ 右半平面的闭环极点数
+稳定性条件：$Z=0\Rightarrow \boxed{N_{-1}=-P}$.
 
 - **当虚轴上无开环极点时**，绘制 $(0^+,+\infin)$ 和 $(0^-,-\infin)$ 的 Nyquist 曲线，曲线闭合，直接使用奈奎斯特稳定性判据；
 - **当虚轴上有开环极点时**，$(0^-,0^+)$ 段不是闭合的，可以绘制从 $v\frac{\pi}{2}$ 开始 <u>按顺时针方向</u> 转到 $-v\frac{\pi}{2}$ 终止的圆弧使得曲线闭合。
@@ -114,8 +137,15 @@ $$
 - 正穿越：曲线从下而上穿越 $(-\infin,-1)$ 区段，记为一次正穿越。
 - 负穿越：曲线从上而下穿越 $(-\infin,-1)$ 区段，记为一次负穿越。
 
+<img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_119c188c823e96630239ee31d90baf4a.png" style="zoom:50%;" />
+
 正穿越和负穿越次数之差，就为 $N$. 可以表达为 $N=N_{+}-N_{-}$.
 
+稳定充要条件：
+$$
+\boxed{N_{+}-N_{-}=-P}
+$$
+
 > 或者我们只绘制 $(0^+,+\infin)$ 部分，也绘制从正实轴出发到 $\omega=0^+$ 点（对应 $v\pi/2$ 弧度）的无穷大圆弧，只看这一半的正穿越和负穿越次数之差，满足：
 > $$
 > N=2(N_{+}-N_{-})
@@ -135,11 +165,30 @@ Nyquist 图和 Bode 图的对应关系
 
 - 在 $L(\omega)>0$ 的频段中，沿频率增加的方向，相频特性曲线 $\varphi(\omega)$ 从下向上穿越 $-\pi$ 线为负穿越（相角减少）；次数记为 $N_-$.
 
-**闭环系统稳定的充要条件**：$N_+-N_-=-P/2$，系统稳定，其中 $P$ 为 $s$ 平面右半部开环极点数目。
+<img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_eec15a6260c317c7ee0d65ecbc5677ea.png" style="zoom: 33%;" />
 
-> 注意，Nyquist 稳定判据中 $\omega:-\infin\to +\infin$，因此是 $-P$，而 Bode 稳定性判据中 $\omega:0\to +\infin$，因此穿越次数为 $-P/2$.
+<img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_a4aa8a1422fc52ed03e5a626048898c8.png" style="zoom:50%;" />
 
-**当开环系统稳定 $\boldsymbol{P=0}$ 时**：$N_+-N_-=0$，则闭环系统稳定。
+> **例题**：已知最小相位系统（开环传递函数在右半平面的极点为零）对数相频特性如图所示：
+>
+> <img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_c64e12926fc79a86aada379fff2deabc.png" style="zoom: 33%;" />
+>
+> $\omega_c$ 是增益剪切频率，试讨论系统的稳定性。
+>
+> 稳定要求 $N_{+}-N_{-}=-P/2=0$。
+>
+> - 当 $0<\omega_c<\omega_1$ 时，$N_{+}=0,N_{-}=0$，系统稳定；
+> - 当 $\omega_1<\omega_c<\omega_2$ 时，$N_{+}=1,N_{-}=0$，系统不稳定；
+> - 当 $\omega_c>\omega_2$ 时，$N_{+}=1,N_{-}=1$，系统稳定。
+>
+> 综上，当改变系统开环增益 $K$，使得截止频率 $\omega_c<\omega_1$ 或 $\omega_c>\omega_2$ 时，系统保持稳定。
+
+Bode 图中旋转次数 $N$ 的计算：$N=2(N_{+}-N_{-})$，稳定充要条件：
+$$
+N=Z-P\Rightarrow N=-P\Rightarrow \boxed{N_{+}-N_{-} =-P/2}
+$$
+
+> 注意，Nyquist 稳定判据中 $\omega:-\infin\to +\infin$，因此是 $-P$，而 Bode 稳定性判据中 $\omega:0\to +\infin$，因此穿越次数为 $-P/2$.
 
 ### 系统的相对稳定性和稳定裕度
 
@@ -154,6 +203,27 @@ Nyquist 图和 Bode 图的对应关系
 
 - <u>对于开环不稳定的系统</u>，由于基于 Nyquist 稳定性判据，则不能通过相位裕量和增益裕量直接判断。
 
+### 稳态分析
+
+闭环系统的稳态特性取决于开环频率特性的低频段（开环对数幅频特性的第一个转折频率以前的区段），取决于系统开环增益和开环积分环节的数目。
+
+**减小系统稳态误差的方法**：提高系统开环频率特性低频段的幅值，增大低频段斜率的绝对值（型号增加）。
+
+## 动态分析
+
+$$
+t_s\approx \frac{3}{\zeta\omega_n}\\
+\omega_n=\frac{\omega_c}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}}-2\zeta^2}
+$$
+
+得到 $t_s\omega_n$ 为常数，$t_s$ 短的系统 $\omega_c$ 大，带宽 $\omega_b$ 大，抗高频噪声的能力弱。
+$$
+\begin{cases}\omega_p=\omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}\\M_p=M(\omega_p)=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-\zeta^2}}\\\omega_b=\omega_n \sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}
+\end{cases}\quad \left(0<\zeta\le \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
+$$
+
+对于给定 $\zeta$，$t_s$ 与 $\omega_b$ 成反比，如果系统带宽大，则说明系统“惯性”小，动作迅速，$t_s$ 也小。
+
 ## 控制系统的校正
 
 ### 校正的分类
@@ -551,6 +621,58 @@ $$
 
    闭环不稳定。
 
+#### 6
+
+单位反馈系统的开环传递函数为：
+$$
+G(s)=\frac{K}{s(s+3)(s+5)}
+$$
+使用奈奎斯特稳定性判据确定当所有极点都在 $s$ 平面左半部且实部大于 1 时 $K$ 的取值范围。
+
+将 $s-1$ 代入 $s$，可得：
+$$
+G(s)=\frac{K}{(s-1)(s+2)(s+4)}
+$$
+画出奈奎斯特图. 
+
+起始点：$(-K/8,0j)$，终止点：原点。
+
+求出和实轴的交点：
+$$
+G(j\omega)=\frac{K}{(j\omega-1)(j\omega+2)(j\omega+4)}
+$$
+令虚部为零，可得 $\omega=\pm \sqrt{2}j$，此时 $G(j\omega)=-K/18$.
+
+系统的 $P=1$，需要 $N_{+}-N_{-}=-P$ 才能保证稳定，此时：
+$$
+-\frac{K}{8}<-1<-\frac{K}{18}
+$$
+需要保证 $8<K<18$.
+
+#### 7
+
+给定单位负反馈系统的开环传递函数：
+$$
+G(s)=\frac{K(-T_1s+1)}{s(T_2s+1)},T_1>0,T_2>0,K>0
+$$
+使用奈奎斯特图确定稳定条件。
+
+（注意非最小相位系统，$\omega\to 0$ 时从无穷大处沿 $-90^\circ$ 方向出发，由于带一个负号，$\omega \to \infin$ 时沿 $+90^\circ$ 方向趋于原点）
+
+与实轴的交点：
+$$
+\frac{1}{-T_2\omega^2}=\frac{-T_1\omega}{\omega}\Rightarrow \omega=\pm \sqrt \frac{1}{T_1T_2}
+$$
+对应的交点为：
+$$
+(-KT_1,0)
+$$
+因此要求：
+$$
+0<K<\frac{1}{T_1}
+$$
+系统稳定。
+
 ### 超前校正
 
 #### 1
@@ -734,3 +856,23 @@ $$
 G(s)=\frac{1+aT_1 s}{1+T_1s}\frac{1+bT_2s}{1+T_2s} \frac{5}{s(s+1)(s/2+1)}
 $$
 ![](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_fc30bf424ff6e4ccb642b513e65baa1f.png)
+
+#### 2
+
+给定单位负反馈控制系统的开环传递函数：
+$$
+G_0(s)=\frac{100}{s\left(\frac{s}{10}+1\right)\left(\frac{s}{100}+1\right)}
+$$
+基于这个系统，设计了一个并联校正网络如下：
+$$
+G_c(s)=\frac{1+aT_1s}{1+T_1s}\frac{1+bT_2s}{1+T_2s}
+$$
+其中，$b=1/10,a=10,T_1=1/100,T_2=10/3$.
+
+计算校正后系统的开环传递函数、幅值剪切频率 $\omega_c$ 和相角裕度 $\varphi$。
+
+校正后系统的开环传递函数：
+$$
+G(s)=\frac{1+1/10s}{1+1/100s}\frac{1+1/3s}{1+10/3s}\frac{100}{s\left(\frac{s}{10}+1\right)\left(\frac{s}{100}+1\right)}
+$$
+幅值剪切频率为 $\omega_c=9.95\mathrm{~rad/s}$，相位裕度为 $73.5^\circ$.

自动控制原理/Part 2. 根轨迹法.txt

@@ -1,11 +1,13 @@
 s = tf('s');
-K=45/4;
-bode(K/(s+1)/(0.5*s+1)/(2*s+1))
-% G0 = 10 / ((s/2 + 1) * (s/15 + 1));
-% a = 1.0700;
-% T = 1000;
-% Gc = (a * T * s + 1) / (T * s + 1);
-% G = G0 * Gc;
-% bode(G0, Gc, G);
-% legend('G0', 'Gc', 'G');
-% grid on;
+G0 = 100/(s*(s/10+1)*(s/100+1));
+a = 10;
+T1 = 1/100;
+b = 1/a;
+T2 = 10;
+Gc1 = (a * T1 * s + 1) / (T1 * s + 1);
+Gc2 = (b * T2 * s + 1) / (T2 * s + 1);
+Gc = Gc1 * Gc2;
+G = G0 * Gc;
+bode(G0, Gc, G);
+legend('G0', 'Gc', 'G');
+grid on;