修复和优化语句表述

Author: itcharge

docs/07_algorithm/07_01_enumeration_algorithm.md

@@ -1,85 +1,79 @@
 ## 1. 枚举算法简介
 
-> **枚举算法（Enumeration Algorithm）**：也称为穷举算法，指的是按照问题本身的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，将它们逐一与目标状态进行比较以得出满足问题要求的解。在列举的过程中，既不能遗漏也不能重复。
+> **枚举算法（Enumeration Algorithm）**，又称穷举算法，是指根据问题的特点，逐一列出所有可能的解，并与目标条件进行比较，找出满足要求的答案。枚举时要确保不遗漏、不重复。
 
-枚举算法的核心思想是：通过列举问题的所有状态，将它们逐一与目标状态进行比较，从而得到满足条件的解。
+枚举算法的核心思想就是：遍历所有可能的状态，逐个判断是否满足条件，找到符合要求的解。
 
-由于枚举算法要通过列举问题的所有状态来得到满足条件的解，因此，在问题规模变大时，其效率一般是比较低的。但是枚举算法也有自己特有的优点：
+由于需要遍历所有状态，枚举算法在问题规模较大时效率较低。但它也有明显优点：
 
-1. 多数情况下容易编程实现，也容易调试。
-2. 建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上，所以算法的正确性比较容易证明。
+1. 实现简单，易于编程和调试。
+2. 基于穷举所有情况，正确性容易验证。
 
-所以，枚举算法通常用于求解问题规模比较小的问题，或者作为求解问题的一个子算法出现，通过枚举一些信息并进行保存，而这些消息的有无对主算法效率的高低有着较大影响。
+因此，枚举算法常用于小规模问题，或作为其他算法的辅助工具，通过枚举部分信息来提升主算法的效率。
 
 ## 2. 枚举算法的解题思路
 
 ### 2.1 枚举算法的解题思路
 
-枚举算法是设计最简单、最基本的搜索算法。是我们在遇到问题时，最应该优先考虑的算法。
+枚举算法是最简单、最基础的搜索方法，通常是遇到问题时的首选方案。
 
-因为其实现足够简单，所以在遇到问题时，我们往往可以先通过枚举算法尝试解决问题，然后在此基础上，再去考虑其他优化方法和解题思路。
+由于实现简单，我们可以先用枚举算法尝试解决问题，再考虑是否需要优化。
 
-采用枚举算法解题的一般思路如下：
+枚举算法的基本步骤如下：
 
-1. 确定枚举对象、枚举范围和判断条件，并判断条件设立的正确性。
-2. 一一枚举可能的情况，并验证是否是问题的解。
-3. 考虑提高枚举算法的效率。
+1. 明确需要枚举的对象、枚举范围和约束条件。
+2. 逐一枚举所有可能情况，判断是否满足题意。
+3. 思考如何提升枚举效率。
 
-我们可以从下面几个方面考虑提高算法的效率：
+提升效率的常用方法有：
 
-1. 抓住问题状态的本质，尽可能缩小问题状态空间的大小。
-2. 加强约束条件，缩小枚举范围。
-3. 根据某些问题特有的性质，例如对称性等，避免对本质相同的状态重复求解。
+- 抓住问题本质，尽量缩小状态空间。
+- 增加约束条件，减少无效枚举。
+- 利用某些问题特有的性质（例如对称性等），避免重复计算。
 
 ### 2.2 枚举算法的简单应用
 
-下面举个著名的例子：「百钱买百鸡问题」。这个问题是我国古代数学家张丘在「算经」一书中提出的。该问题叙述如下：
+以经典的「百钱买百鸡问题」为例：
 
-> **百钱买百鸡问题**：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
+> **问题**：公鸡 5 元/只，母鸡 3 元/只，小鸡 1 元/3 只。用 100 元买 100 只鸡，问各买多少只？
 
-翻译一下，意思就是：公鸡一只五块钱，母鸡一只三块钱，小鸡三只一块钱。现在我们用 $100$ 块钱买了 $100$ 只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
+**解题步骤**：
 
-下面我们根据算法的一般思路来解决一下这道题。
+1. **确定枚举对象和范围**
+   - 枚举对象：公鸡数 $x$，母鸡数 $y$，小鸡数 $z$
+   - 枚举范围：$0 \le x, y, z \le 100$
+   - 约束条件：$5x + 3y + \frac{z}{3} = 100$ 且 $x + y + z = 100$
 
-1. 确定枚举对象、枚举范围和判断条件，并判断条件设立的正确性。
+2. **暴力枚举**
 
-   1. 确定枚举对象：枚举对象为公鸡、母鸡、小鸡的只数，那么我们可以用变量 $x$、$y$、$z$ 分别来代表公鸡、母鸡、小鸡的只数。
-   2. 确定枚举范围：因为总共买了 $100$ 只鸡，所以 $0 \le x, y, z \le 100$，则 $x$、$y$、$z$ 的枚举范围为 $[0, 100]$。
-   3. 确定判断条件：根据题意，我们可以列出两个方程式：$5 \times x + 3 \times y + \frac{z}{3} = 100$，$x + y + z = 100$。在枚举 $x$、$y$、$z$ 的过程中，我们可以根据这两个方程式来判断是否当前状态是否满足题意。
+    ```python
+    class Solution:
+        def buyChicken(self):
+            for x in range(101):
+                for y in range(101):
+                    for z in range(101):
+                        if z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100 and x + y + z == 100:
+                            print("公鸡 %s 只，母鸡 %s 只，小鸡 %s 只" % (x, y, z))
+    ```
 
-2. 一一枚举可能的情况，并验证是否是问题的解。
+3. **优化枚举效率**   
+   - 利用 $z = 100 - x - y$ 减少一重循环
+   - 缩小枚举范围：$x \in [0, 20]$，$y \in [0, 33]$
 
-   1. 根据枚举对象、枚举范围和判断条件，我们可以顺利写出对应的代码。
-
-      ```python
-      class Solution:
-          def buyChicken(self):
-              for x in range(101):
-                  for y in range(101):
-                      for z in range(101):
-                          if z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100 and x + y + z == 100:
-                              print("公鸡 %s 只，母鸡 %s 只，小鸡 %s 只" % (x, y, z))
-      ```
-
-3. 考虑提高枚举算法的效率。
-
-   1. 在上面的代码中，我们枚举了 $x$、$y$、$z$，但其实根据方程式 $x + y + z = 100$，得知：$z$ 可以通过 $z = 100 - x - y$ 而得到，这样我们就不用再枚举 $z$ 了。
-   2. 在上面的代码中，对 $x$、$y$ 的枚举范围是 $[0, 100]$，但其实如果所有钱用来买公鸡，最多只能买 $20$ 只，同理，全用来买母鸡，最多只能买 $33$ 只。所以对 $x$ 的枚举范围可改为 $[0, 20]$，$y$ 的枚举范围可改为 $[0, 33]$。
-
-   ```python
-   class Solution:
-       def buyChicken(self):
-           for x in range(21):
-               for y in range(34):
-                   z = 100 - x - y
-                   if z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100:
-                       print("公鸡 %s 只，母鸡 %s 只，小鸡 %s 只" % (x, y, z))
-   ```
+    ```python
+    class Solution:
+        def buyChicken(self):
+            for x in range(21):
+                for y in range(34):
+                    z = 100 - x - y
+                    if z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100:
+                        print("公鸡 %s 只，母鸡 %s 只，小鸡 %s 只" % (x, y, z))
+    ```
 
 
 ## 3. 枚举算法的应用
 
-### 3.1 两数之和
+### 3.1 经典例题：两数之和
 
 #### 3.1.1 题目链接
 
@@ -117,109 +111,38 @@
 
 #### 3.1.3 解题思路
 
-这里说下枚举算法的解题思路。
-
 ##### 思路 1：枚举算法
 
-1. 使用两重循环枚举数组中每一个数 $nums[i]$、$nums[j]$，判断所有的 $nums[i] + nums[j]$ 是否等于 $target$。
-2. 如果出现 $nums[i] + nums[j] == target$，则说明数组中存在和为 $target$ 的两个整数，将两个整数的下标 $i$、$j$ 输出即可。
+1. 通过两重循环，依次枚举数组中所有可能的下标对 $(i, j)$（其中 $i < j$），判断 $nums[i] + nums[j]$ 是否等于 $target$。
+2. 一旦找到满足条件的下标对，即 $nums[i] + nums[j] == target$，立即返回这两个下标 $[i, j]$ 作为答案。
 
 ##### 思路 1：代码
 
 ```python
 class Solution:
     def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
+        # 遍历第一个数的下标
         for i in range(len(nums)):
+            # 遍历第二个数的下标（只需从i+1开始，避免和自身重复）
             for j in range(i + 1, len(nums)):
-                if i != j and nums[i] + nums[j] == target:
-                    return [i, j]
-        return []
+                # 判断两数之和是否等于目标值
+                if nums[i] + nums[j] == target:
+                    return [i, j]  # 返回下标对
+        return []  # 如果没有找到，返回空列表
 ```
 
 ##### 思路 1：复杂度分析
 
 - **时间复杂度**：$O(n^2)$，其中 $n$ 为数组 $nums$ 的元素数量。
 - **空间复杂度**：$O(1)$。
 
-### 3.2 计数质数
+### 3.2 统计平方和三元组的数目
 
 #### 3.2.1 题目链接
 
-- [204. 计数质数 - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/count-primes/)
-
-#### 3.2.2 题目大意
-
-**描述**：给定 一个非负整数 $n$。
-
-**要求**：统计小于 $n$ 的质数数量。
-
-**说明**：
-
-- $0 \le n \le 5 \times 10^6$。
-
-**示例**：
-
-- 示例 1：
-
-```python
-输入 n = 10
-输出 4
-解释 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7。
-```
-
-- 示例 2：
-
-```python
-输入：n = 1
-输出：0
-```
-
-#### 3.2.3 解题思路
-
-这里说下枚举算法的解题思路（注意：提交会超时，只是讲解一下枚举算法的思路）。
-
-##### 思路 1：枚举算法（超时）
-
-对于小于 $n$ 的每一个数 $x$，我们可以枚举区间 $[2, x - 1]$ 上的数是否是 $x$ 的因数，即是否存在能被 $x$ 整除的数。如果存在，则该数 $x$ 不是质数。如果不存在，则该数 $x$ 是质数。
-
-这样我们就可以通过枚举 $[2, n - 1]$ 上的所有数 $x$，并判断 $x$ 是否为质数。
-
-在遍历枚举的同时，我们维护一个用于统计小于 $n$ 的质数数量的变量 $cnt$。如果符合要求，则将计数 $cnt$ 加 $1$。最终返回该数目作为答案。
-
-考虑到如果 $i$ 是 $x$ 的因数，则 $\frac{x}{i}$ 也必然是 $x$ 的因数，则我们只需要检验这两个因数中的较小数即可。而较小数一定会落在 $[2, \sqrt x]$ 上。因此我们在检验 $x$ 是否为质数时，只需要枚举 $[2, \sqrt x]$ 中的所有数即可。
-
-利用枚举算法单次检查单个数的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，检查 $n$ 个数的整体时间复杂度为 $O(n \sqrt{n})$。
-
-##### 思路 1：代码
-
-```python
-class Solution:
-    def isPrime(self, x):
-        for i in range(2, int(pow(x, 0.5)) + 1):
-            if x % i == 0:
-                return False
-        return True
-
-    def countPrimes(self, n: int) -> int:
-        cnt = 0
-        for x in range(2, n):
-            if self.isPrime(x):
-                cnt += 1
-        return cnt
-```
-
-##### 思路 1：复杂度分析
-
-- **时间复杂度**：$O(n \times \sqrt{n})$。
-- **空间复杂度**：$O(1)$。
-
-### 3.3 统计平方和三元组的数目
-
-#### 3.3.1 题目链接
-
 - [1925. 统计平方和三元组的数目 - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/count-square-sum-triples/)
 
-#### 3.3.2 题目大意
+#### 3.2.2 题目大意
 
 **描述**：给你一个整数 $n$。
 
@@ -248,30 +171,31 @@ class Solution:
 解释：平方和三元组为 (3,4,5)，(4,3,5)，(6,8,10) 和 (8,6,10)。
 ```
 
-#### 3.3.3 解题思路
+#### 3.2.3 解题思路
 
 ##### 思路 1：枚举算法
 
-我们可以在 $[1, n]$ 区间中枚举整数三元组 $(a, b, c)$ 中的 $a$ 和 $b$。然后判断 $a^2 + b^2$ 是否小于等于 $n$，并且是完全平方数。
+直接枚举 $a$ 和 $b$，计算 $c^2 = a^2 + b^2$，判断 $c$ 是否为整数且 $1 \leq c \leq n$，如果满足条件则计数加一，最后返回总数。
 
-在遍历枚举的同时，我们维护一个用于统计平方和三元组数目的变量 $cnt$。如果符合要求，则将计数 $cnt$ 加 $1$。最终，我们返回该数目作为答案。
+该方法时间复杂度为 $O(n^2)$。
 
-利用枚举算法统计平方和三元组数目的时间复杂度为 $O(n^2)$。
 
-- 注意：在计算中，为了防止浮点数造成的误差，并且两个相邻的完全平方正数之间的距离一定大于 $1$，所以我们可以用 $\sqrt{a^2 + b^2 + 1}$ 来代替 $\sqrt{a^2 + b^2}$。
+- 注意：为避免浮点误差，可以用 $\sqrt{a^2 + b^2 + 1}$ 代替 $\sqrt{a^2 + b^2}$，这样判断 $c$ 是否为整数更安全。
 
 ##### 思路 1：代码
 
 ```python
 class Solution:
     def countTriples(self, n: int) -> int:
-        cnt = 0
-        for a in range(1, n + 1):
-            for b in range(1, n + 1):
+        cnt = 0  # 统计满足条件的三元组个数
+        for a in range(1, n + 1):  # 枚举 a
+            for b in range(1, n + 1):  # 枚举 b
+                # 计算 c，注意加 1 防止浮点误差
                 c = int(sqrt(a * a + b * b + 1))
+                # 判断 c 是否在范围内，且 a^2 + b^2 == c^2
                 if c <= n and a * a + b * b == c * c:
-                    cnt += 1
-        return cnt
+                    cnt += 1  # 满足条件，计数加一
+        return cnt  # 返回最终统计结果
 ```
 
 ##### 思路 1：复杂度分析