更新0565. 数组嵌套 题目解析

Author: itcharge

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+# [0565. 数组嵌套](https://leetcode.cn/problems/array-nesting/)
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+- 标签：深度优先搜索、数组
+- 难度：中等
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+## 题目链接
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+- [0565. 数组嵌套 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/array-nesting/)
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+## 题目大意
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+**描述**：
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+给定索引从 $0$ 开始长度为 $N$ 的数组 $A$，包含 $0 \sim N - 1$ 的所有整数。
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+**要求**：
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+找到最大的集合 $S$ 并返回其大小，其中 $S[i] = \{A[i], A[A[i]], A[A[A[i]]], ... \}$ 且遵守以下的规则。
+
+假设选择索引为 $i$ 的元素 $A[i]$ 为 $S$ 的第一个元素，$S$ 的下一个元素应该是 $A[A[i]]$，之后是 $A[A[A[i]]]...$ 以此类推，不断添加直到 $S$ 出现重复的元素。
+
+**说明**：
+
+- $1 \le nums.length \le 10^{5}$。
+- $0 \le nums[i] \lt nums.length$。
+- $A$ 中不含有重复的元素。
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+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+```python
+输入: A = [5,4,0,3,1,6,2]
+输出: 4
+解释: 
+A[0] = 5, A[1] = 4, A[2] = 0, A[3] = 3, A[4] = 1, A[5] = 6, A[6] = 2.
+
+其中一种最长的 S[K]:
+S[0] = {A[0], A[5], A[6], A[2]} = {5, 6, 2, 0}
+```
+
+## 解题思路
+
+### 思路 1：
+
+将数组 $A$ 看成一个有向图：每个下标 $i$ 指向唯一的下标 $A[i]$。由于 $A$ 是 $0\sim N-1$ 的一个排列（元素不重复，且都在范围内），图中每个节点出度均为 $1$，因此整张图由若干个「不相交的简单环」组成。题目中的集合 $S[i] = \{A[i], A[A[i]], A[A[A[i]]], \ldots\}$ 实际上就是从起点 $i$ 出发顺着边前进直到首次重复时形成的环，答案即为所有环中最大的长度。
+
+做法：从每个未访问的起点 $i$ 出发，沿着 $i \to A[i] \to A[A[i]] \to \cdots$ 走，并统计本次路径中第一次遇到已访问节点前的步数，即该环的长度。用布尔数组（或集合） $visited$ 标记已经访问过的下标，保证每个下标只被遍历一次。
+
+**变量含义**：
+
+- $N$：数组长度。
+- $A$：输入数组。
+- $visited$：访问标记数组，`visited[x] = True` 表示下标 $x$ 已被计入某个环或已遍历过。
+- $ans$：当前找到的最大环长。
+- $curr$：从某个起点出发的游标位置。
+- $cnt$：从当前起点出发走到重复前累计的长度。
+
+**算法步骤**：
+
+1. 初始化 $visited$ 全为 `False`，$ans = 0$。
+2. 枚举起点 $i \in [0, N-1]$。若 `visited[i]` 为 `True`，跳过；否则从 $i$ 出发：
+    - 置 $cnt = 0$，$curr = i$。
+    - 当 `visited[curr]` 为 `False` 时：标记 `visited[curr] = True`，令 $curr = A[curr]$，$cnt++$。
+    - 本轮结束时，更新 $ans = \max(ans, cnt)$。
+3. 返回 $ans$。
+
+### 思路 1：代码
+
+```python
+class Solution:
+    def arrayNesting(self, nums: List[int]) -> int:
+        n = len(nums)
+        visited = [False] * n  # 访问标记：True 表示该下标已被遍历过
+        ans = 0
+
+        for i in range(n):
+            if visited[i]:
+                continue  # 已处理过，跳过
+
+            cnt = 0
+            curr = i
+            # 顺着 i -> nums[i] -> nums[nums[i]] ... 直到遇到已访问位置
+            while not visited[curr]:
+                visited[curr] = True
+                curr = nums[curr]
+                cnt += 1
+
+            # 本次从起点 i 出发形成的环长度为 cnt
+            if cnt > ans:
+                ans = cnt
+
+        return ans
+```
+
+### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(N)$。每个下标至多被访问一次。
+- **空间复杂度**：$O(N)$。使用了大小为 $N$ 的 $visited$ 辅助数组。